назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


8

= 500 -Со -Ci =0. (1.10)

А теперь мы выразим (1.8) через к и подставим в (1.9). Преобразование приведет к условиям оптимума

Со = 3 • С].

Подстановка в (1.10) дает

Для Со мы получаем из условия оптимума

Со = 3 • Ci = 3 • 125 = 375.

Для максимизации своей полезности Робинзон должен сегодня (завтра) потреблять товары на сумму в 375 (125) руб.

1.1.9. Оптимум потребления-сбережений

У Робинзона есть проблема: хотя он знает свою функцию полезности U = = CqCi\ все равно ему не известно, как разделить наилучшим образом свои средства в объеме 500 руб. на потребление и финансовые инвестиции.

1. Какое разделение его средств вы бы ему порекомендовали, если бы было возможно лишь держание кассы?

2. Как ему следует использовать свои средства, если он может вложить частично или полностью свой начальный капитал под г = 10%.

•л- *

1. Проблему оптимизации Робинзона

max и = C°-CS-2-

Co.Ci

при дополнительных условиях

500 = Со + Л/о, Ci = Л/о

можно решить с помощью метода множителей Лагранжа

С = Со° "Cl- + к (500 - Со - Ci).

Возьмем частные производные по Со, Ci и к, и приравняем их к нулю. Это дает

=0.75С<7°-25.С?-25 , = 0, (1.8)

= 0.25 СУ СГ°-5 -кО, (1.9)



Со =

и как результат

с, = f = .37.5.

Со = 500 - • Ci = 500 - 125 = 375,

и в этой ситуации Робинзон достигает своей максимальной полезности, если он в i = О потребляет блага на сумму в 375 руб., но сейчас он поместит остаток своего имущества не под подушку, а в банк. Отсюда для него в = 1 появится возможность потреблять на 10 % больше, чем в исходной ситуации.

1.1.10. Оптимум потребления-инвестиций

Робинзон имеет функцию полезности U = е° и финансовые средства величиной в 15 000 руб. Он может осуществить реальные инвестиции. Функция инвестиций имеет вид Ху - 100л о. Далее, Робинзон на рынке капитала может брать и помещать финансовые средства под 10 %. Определите оптимальный план инвестиций и потребления Робинзона при условии, что цена потребительского блага составляет 1 руб.

2. Если существует возможность поместить деньги под ставку процента, равную г = 10%, то изменится лишь бюджетное ограничение для момента времени t - 1

Ci = 1.1-Л/о. Функция Лагранжа приобретет новую форму

С = С,5с-25 + . j5oo Со - • Ci Условия первого порядка составят

=0.75С-°25с?-2>-к = 0,

п ог. p0.75p-0.75 } .. п

о -1

- = 500 - Со - - • Ci = 0.

OK 1.1

Аналогичным образом мы получим условия оптимума

3- Ci



дСо дС 1

ОС, 2С

•Со-е« + к = 0. (1.14)

дС 1

-- = г\.l-кШ-J==Q, (1.15) oiQ 2v/o

Ci-l.l-(15 000-Co-/o)-100v o=0. (1.16)

Из уравнения (1.15) мы получаем

1.1 =

2\Ло

и, таким образом, /о = 2066.12. Мы получаем доход инвестиционной программы Х\ путем подстановки расходов на осуществление инвестиций /о в функцию инвестиций

Хх = 100\/2066.12 = 4545.45. Теперь мы используем оба уравнения (1.13) и (1.14). Деление приводит к

ч/СГ

1.1 =

1.1 =

Ci=0.55-Co. (1.17)

Теперь мы подставим (1.17) и остальные результаты в (1.16) и получим при

0.55Со - 1.1 • (15 000- Со - 2066.12) - 1002066.12 = О, Со = 11377.41.

Для максимизирующего полезность Робинзона верно

max и = е»

при дополнительных условиях

15 000 = Со + Л/о +/о, (1.11)

С1 = 1.1-Л/о + 100\ о. (1.12)

Соединив (1.11) и (1.12), получаем функцию Лагранжа

С = е° + к • (Ci - 1.1 • (15000 - Со - /о) - 100\ о).

Нахождение частных производных по искомым переменным решения и множителю Лагранжа приведет нас к условиям первого порядка

/Cl-e" + к-1Л0, (1.13)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]