Если V > VJ/-, то не будет инвесторов, которые захотят держать акции не имеющего долгов предприятия. Ведь каждый инвестор может приобрести те же самые требования дешевле, если он купит как акции, так и облигации предприятия, имеющего долги. • Позиция L-акционера Тот, кто покупает долю а имеющей долги фирмы, заплатит за это цену uEq = а{У - Dq) и приобретет требования на доходы в объеме а(Е[Х] - koDo). Инвестор может получить то же требование, если он купит акции не имеющего долгов предприятия и одновременно подходящим образом берет деньги в долг как частное лицо. Тот, кто покупает акции не имеющего долгов предприятия, платит цену и приобретает требования на платежи величиной в аЕ[Х]. Если он в этом случае получит, кроме того, и частный кредит величиной в о Do, то он будет обязан осуществить текущие платежи величиной в akuDo- Сальдо требований после этих сделок составит а(Е[Л] - koDo), за что инвестор должен заплатить цену величиной в a{VУ - Д)).

До тех пор пока VJ/- > Vg, акционеры имеющего долги предприятия будут продавать свои доли и за это покупать доли не имеющего долгов предприятия при одновременном образовании (частной) задолженности.

Таким образом, они будут извлекать арбитражную прибыль

величиной a(Vo - Vf). Так как возможность извлечения арбитражной прибыли, по допущению, исключена, должно быть всегда верным

Для доказательства тезиса 2 доходность собственного капитала определяется как соотношение чистых возвратных потоков для собственников паев и стоимости собственного капитала, а значит, как

Е[А] - ко Do кЕ = --.

Из-за тезиса 1 должно быть всегда верным

Vq = Ьо + Uo = -у-

Если выразить данную формулу через Е[Х], то это приведет к

E[X] = k-{Eo + Do).

Если мы сейчас подставим уравнение, определяющее fcg, тогда будет иметь место

, k{Eo + DQ)~koDo

кЕ =--=

. Ео

кЕо + {к- кр)Ро

k+{k-ko).

Тезис 3 констатирует, что принятие решений об инвестициях в интересах всех финансистов может произойти с помощью метода чистой сегодняшней стоимости, причем необходимо использовать как расчетную ставку процента к.

Если мы исходим из инвестиции, которая требует расходов величиной в / и обещает текущие доходы величиной в ДЕ[Л], то условие для принятия решения в пользу проекта выглядит следующим образом:

Сейчас можно различать два разных случая. Инвестиция финансируется или собственными, или заемными средствами. Применительно к финансированию собственными средствами благосостояние кредиторов вообще не изменяется. Собственники паев выплачивают / и приобретают за это требование на ДЕ[Х], которое они капитализируют при к. Следовательно, их прирост благосостояния составляет

-/>0.

Значит, правило принятия решения, соответствующее тезису 3, в случае собственных средств не противоречит интересам ни одного из лиц, предоставляющих капитал.

Если проект финансируется заемными средствами, то кредиторы могут достичь максимального начисления процентов в сумме ко, а значит, получить текущие платежи в объеме ко1. Для собственников паев остаются требования на текущие поступления величиной в (АЕ[Х] - ко1), которые при соблюдении правила решения должны быть положительными. Обоснование этого состоит в следующем: из-за допущения е величина к всегда больше, чем кр, и ко всегда больше нуля. Поэтому всегда верно

ДВД ДЩ ко к

Из этого следует

АЕ[Х] -ко1 >0,

что и требовалось доказать. Приобретение требований на текущие доходы величиной в (ДЕ[Х] - ко I), в случае финансирования заемными средствами для акционеров происходит бесплатно. Значит,

соблюдение правила принятия решения, соответствующего теореме 3, оказывается и в случае заемного финансирования полезным для всех лиц, предоставляющих капитал. Тем самым теорема 3 доказана.

5.2.3. Уравнение цены САРМ и теоремы нерелевантности

Если мы хотим показать, что теорема нерелевантности Модильяни-Миллера верна, когда даны условия модели оценки финансовых активов, то нам необходимо использовать два свойства ковариаций, которые описываются следующими формулами:

Cov(.7:] +Х2,г/] =Cov[xi,y] + Соу[;г2,], Cov[a + :г, у] = Cov[.f, у].

(5.6) (5.7)

Докажите, что обе формулы верны. Покажите далее, что (5.7) является специальным случаем (5.6).

* -л-

Для доказательства первого свойства начнем с определения ковариаций

Cov[f + i2- .}] = е (ii + i2 - e[.!:i + X2]) {у ~ Е[Г/]) .

Элементарное преобразование приведет к

Cov[.ri + Х2,у] = е[(,?1 + ;Г2 - Е[.Ь] - [х.]) {[/ - Е[у])

= е[(.т, - E[I-i] + .7-2 - Е[.Г2]) (Г/ - Е[;}])

= Е [(J:i - E[i-i]) (Г/ - E[.v]) + (2 - e[i-2]) (Г/ - е[Г/])

Если мы, наконец, применим оператор математического ожидания к обоим аргументам по отдельности, то получим

Cov[xi + .Г2,7/1 = Е (.г-1 - Е[7:,1) [у - Е[у])

(J-2-e[i2])(:v-e[y])

= Соу[.г], у] + Соу[.Г2, у].

что и требовалось доказать. Для доказательства второго свойства ковариаций начнем снова с определения

Cov[a + i. у] = Е [(а + х. - Е[а -f i]) {у - Е[у])

Если мы используем тот факт, что математическое ожидание гарантированной величины соответствует самой этой величине, то можем преобразовать следующим образом