назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [ 71 ] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


71

вой трансформации, которая находится ближе всех к оси ординат. Таким образом, возможны лишь комбинации из рыночного портфеля и портфеля с минимальной дисперсией с нулевой бета.

4.3.9. Расчет наименьшего по риску портфеля с нулевой бета

На рынке капитала без возможности вложений в безрисковые активы существуют лишь два инвестора. Инвестору 1 хотелось бы разделить свое имущество V = 200 000 по равным долям среди трех ценных бумаг с матрицей дисперсии-ковариаций

/ 0.24 -0.10 0.25\

-0.10 0.75 0.32 . \ 0.25 0.32 0.12/

Инвестор 2 владеет 300 000 руб. Он инвестирует эту сумму на 50% в ценную бумагу 1, на 37.5% - в ценную бумагу 2 и на 12.5% - в ценную бумагу 3.

1. Рассчитайте рыночный портфель.

2. Рассчитайте портфель с минимальной дисперсией и с нулевой бета.

1. Вектор структуры рыночного портфеля можно определить через

Мы получаем

1/1+1/2

/0.4333\

0.3583 \0.2083/

2. Для портфеля с нулевой бета должно быть выполнено уравнение

Cov[f~,f„,] = (uJi u)2 (1 - a;i - UJ2))

I 0.24 -0.10 0.25\ /0.4333\

-0.10 \ 0.25

0.75 0.32 0.32 0.12

0.3583 \0.2083/

= 0.

Сложение дает

0.12021 + 0.29212 + 0.2480 • (1 - wi - 2) = 0,

Между прочим, верно, что никогда не принимаются позиции, которые находятся ниже абсолютно минимальной по дисперсии позиции.



Литература

САРМ без возможности вложения в безрисковый актив была разработана в: Black F. Capital market equilibrium with restricted borrowing Journal

И с учетом этого

w2 = 2.8979c<;i - 5.6257. Для упрощения обозначения мы сейчас определим

а = 5.6257, Ь = 2.8979.

Формула дисперсии портфеля из трех ценных бумаг выглядит следующим образом:

Var[fp] = WiVarffi] -- 2uj\uJ2Cow[fx,f2\ + 2a;iW3Cov[7i, f3] + +cjVar[f2] + 2ш2и)зСоу[г2,гз1 -ь wVar[f3l.

Сейчас при учете а»з = 1 - wi - с<;2 мы подставим в это выражение полученное соотношение и показатели ковариации:

Var[fp] = ш1 0.24 + 2и>1 -(buJi-a)- (-0.1) +

+ 2lji • (1 - - (buji - a)) 0.25 + (604 - af 0.75 + +2 {buJi -a)-{l-uji - (boJi - a)) 0.32 + --(1-a;i - (6u;i - a))2 • 0.12.

Дифференцирование no uji дает нам в качестве условия для минимума

" = и>1 0.24 + {{bivi -a)+uji-b)- (-0.1) +

CUjJ\

+ ((1 - wi - (6wi - a)) + uJx{-\ - b)) 0.25 + [buj, - a) b 0.75 + + {b{l - (61 - a)) + (bull - a)(-l - b)) -0.32 + + {1 -wi- {bivi - a)) (-1 - 6) • 0.12 = 0.

Упрощение дает после повторной подстановки значений для а и b

uji = 0.0387.

Соответствующая доля второй ценной бумаги равна

и>2 = 2.8979 • 0.0387 - 5.6257 = -5.5135.

Наконец, при

W3 = 1 - 0.0387 - (-5.5135) = 6.4748

минимальный по дисперсии портфель с нулевой бета однозначно определен.



of Business. 1972. Vol 45. P. 444-455. Представление этого варианта САРМ можно найти также в: Copeland Т. Е., Weston J. F. Financial Theory and Corporate Policy. 3rd ed. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1988 и: Elton E. J., Gruber M. J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 5th ed. New York: Wiley, 1995.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [ 71 ] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]