назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [ 70 ] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


70

E[fp]

продажа Z без покрытия

позиция без продажи Z без покрытия

портфель с абсолютно минимальной дисперсией

портфель с нулевой бета

Рис. 4.13. Кривая рынка капитала без безрисковой ставки процента

фелем). Если стоимость проданных без покрытия портфелей с нулевой бета в экономике (соответствует получению рискового кредита) совпадает со стоимостью совокупно купленных смесей этого вида (предоставление кредитов с риском), первый базисный портфель должен быть рыночным портфелем.

4.3.7. Доходность ценной бумаги и бета ценной бумаги

Покажите, что и для отдельной ценной бумаги действует линейное отношение между доходностью и риском.

* * *

Для доказательства нам необходимо два из трех условий оптимальности из задачи 4.3.1. Если мы выберем первые два, то верно

2wiVar[fi] + 2w2Cov[fi,f2] + 2ызСоу[г1,гз] - «iE[fi] -«2=0, 2wiCov[f2, fi] + 2w2Var[f2] + 2ызСоу[г2, гз] - «iE[f2l - «2 = 0.

Сделаем перестановку при учете правила расчета ковариации, сведем эту систему к

2Coy[fi,fpj-«iE[fij-«2 = 0,

2С0У[Г2, Гр) - «lE[f2) -«2 = 0

Ср. по этому поводу табл. 4.7 на с. 174.



Cov[f„,r,„] = (E[7=„.]-E[r,]). =Var[r,„]

Вынесение 0.5ki дает

Varff,

0.5«-,i =

Сейчас мы заменим 0.5ki в (4.77)

Cov[f,,r,] = (E[f,] - E[r.])

E[r,nJ - Щ7\\

и сведем к виду

= E[f,] + (EM-E[f,l)/3j.

Таким образом, и для отдельных ценных бумаг соблюдается линейное соотношение между риском и доходностью.

4.3.8. Минимальный по дисперсии портфель с нулевой бета

Объясните, почему инвесторы вкладывают только в минимальный по дисперсии портфель с нулевой бета.

и после этого вычтем второе уравнение из первого, fp является доходностью индивидуального, эффективного портфеля. Так как результат

2Cov[fi, гр] - 2Cov[f2. гр] = м(Е[п] - £[72])

верен для любых ценных бумаг и любых эффективных портфелей, при учете того факта, что рыночный портфель сам по себе является эффективным, заменим fi на fj, Г2 на ii и тр на г,,,. Тогда мы получим

2(Cov[fj,7%,J - Cov[f,,r„,]) = Ki(E[fj] - Е[7,]).

Наконец, мы еще используем то обстоятельство, что соотношение верно как для отдельных ценных бумаг, так и для портфелей, и заменим сначала г, на

Cov[r,,f„,] - Cov[f,,r,„] = (E[f,] - E[r,]), (4.77)



Каждый портфель с нулевой бета свободен от систематического риска и приносит поэтому доходность Щгг]- Поэтому на первый взгляд кажется, что инвесторы инвестируют в любые портфели с этим свойством. Однако с помощью образования портфелей в случае двух ценных бумаг можно показать, что осуществляются вложения лишь в минимальный по дисперсии портфель этого типа.

Доходности портфеля с нулевой бета независимы от рыночной доходности. Поэтому мы можем проинтерпретировать рыночные портфели и портфели с нулевой бета как независимые друг от друга ценные бумаги. Для каждой смеси из любого портфеля с нулевой бета и рыночного портфеля существует одна кривая трансформации. Соответствующие позиции «доходность-риск» определены через два уравнения

E[fp]=aEM + (l-a)E[f,]

VarM = aYavlfm] + (1 - afYar[f,]

E[fp]

E(r,]

квивалентная позиция

cr rp

Рис. 4.14. Функции трансформации нулевых бета

Если Var[fji] < Var[f2], то для любого а и таким образом для любой доходности портфеля E[fp] верно неравенство Var[fpi] < Var[fp2]. Линия трансформации неминимального по дисперсии (второго) портфеля с нулевой бета располагается справа от кривой трансформации для минимального по дисперсии (первого) портфеля с нулевой бета (ср. рис. 4.14). Все инвесторы держат эффективные смеси этих обоих «типов ценных бумаг», ковариация которых составляет ноль. Это означает, что они позиционируют себя на кри-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [ 70 ] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]