E[fp]
продажа Z без покрытия
позиция без продажи Z без покрытия
портфель с абсолютно минимальной дисперсией
портфель с нулевой бета
Рис. 4.13. Кривая рынка капитала без безрисковой ставки процента
фелем). Если стоимость проданных без покрытия портфелей с нулевой бета в экономике (соответствует получению рискового кредита) совпадает со стоимостью совокупно купленных смесей этого вида (предоставление кредитов с риском), первый базисный портфель должен быть рыночным портфелем.
4.3.7. Доходность ценной бумаги и бета ценной бумаги
Покажите, что и для отдельной ценной бумаги действует линейное отношение между доходностью и риском.
* * *
Для доказательства нам необходимо два из трех условий оптимальности из задачи 4.3.1. Если мы выберем первые два, то верно
2wiVar[fi] + 2w2Cov[fi,f2] + 2ызСоу[г1,гз] - «iE[fi] -«2=0, 2wiCov[f2, fi] + 2w2Var[f2] + 2ызСоу[г2, гз] - «iE[f2l - «2 = 0.
Сделаем перестановку при учете правила расчета ковариации, сведем эту систему к
2Coy[fi,fpj-«iE[fij-«2 = 0,
2С0У[Г2, Гр) - «lE[f2) -«2 = 0
Ср. по этому поводу табл. 4.7 на с. 174.
Cov[f„,r,„] = (E[7=„.]-E[r,]). =Var[r,„]
Вынесение 0.5ki дает
Varff,
0.5«-,i =
Сейчас мы заменим 0.5ki в (4.77)
Cov[f,,r,] = (E[f,] - E[r.])
E[r,nJ - Щ7\\
и сведем к виду
= E[f,] + (EM-E[f,l)/3j.
Таким образом, и для отдельных ценных бумаг соблюдается линейное соотношение между риском и доходностью.
4.3.8. Минимальный по дисперсии портфель с нулевой бета
Объясните, почему инвесторы вкладывают только в минимальный по дисперсии портфель с нулевой бета.
и после этого вычтем второе уравнение из первого, fp является доходностью индивидуального, эффективного портфеля. Так как результат
2Cov[fi, гр] - 2Cov[f2. гр] = м(Е[п] - £[72])
верен для любых ценных бумаг и любых эффективных портфелей, при учете того факта, что рыночный портфель сам по себе является эффективным, заменим fi на fj, Г2 на ii и тр на г,,,. Тогда мы получим
2(Cov[fj,7%,J - Cov[f,,r„,]) = Ki(E[fj] - Е[7,]).
Наконец, мы еще используем то обстоятельство, что соотношение верно как для отдельных ценных бумаг, так и для портфелей, и заменим сначала г, на
Cov[r,,f„,] - Cov[f,,r,„] = (E[f,] - E[r,]), (4.77)
Каждый портфель с нулевой бета свободен от систематического риска и приносит поэтому доходность Щгг]- Поэтому на первый взгляд кажется, что инвесторы инвестируют в любые портфели с этим свойством. Однако с помощью образования портфелей в случае двух ценных бумаг можно показать, что осуществляются вложения лишь в минимальный по дисперсии портфель этого типа.
Доходности портфеля с нулевой бета независимы от рыночной доходности. Поэтому мы можем проинтерпретировать рыночные портфели и портфели с нулевой бета как независимые друг от друга ценные бумаги. Для каждой смеси из любого портфеля с нулевой бета и рыночного портфеля существует одна кривая трансформации. Соответствующие позиции «доходность-риск» определены через два уравнения
E[fp]=aEM + (l-a)E[f,]
VarM = aYavlfm] + (1 - afYar[f,]
E[fp]
E(r,]
квивалентная позиция
cr rp
Рис. 4.14. Функции трансформации нулевых бета
Если Var[fji] < Var[f2], то для любого а и таким образом для любой доходности портфеля E[fp] верно неравенство Var[fpi] < Var[fp2]. Линия трансформации неминимального по дисперсии (второго) портфеля с нулевой бета располагается справа от кривой трансформации для минимального по дисперсии (первого) портфеля с нулевой бета (ср. рис. 4.14). Все инвесторы держат эффективные смеси этих обоих «типов ценных бумаг», ковариация которых составляет ноль. Это означает, что они позиционируют себя на кри-