назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [ 67 ] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


67

Покажите с использованием данных, что безразлично, оптимизируется ли структура портфеля с помощью

minVar[rp] при дополнительных условиях

или с помощью

(4.69)

max[/(E[fp], Var[fp]) при дополнительных условиях 1 = . Пусть запланированная инвестором доходность портфеля будет равна 10 %.

* * *

(4.69) дает функцию Лагранжа

С = Var[fp] + «1

E[r-p]-u;,-E[f,]

= Var[fp] + Ki

10-u;,E[f,l

+ k2

+ k2 /

I 3 \

1-Е-.- • .=1 j

Оптимизировать надо wi, ыг, wa, К] и «2- Дифференцирование функции Лагранжа по этим переменным приводит к следующим условиям оптимальности

2wiVar[fil -f 2w2Cov[fi,f2] -I- 2а;зСоу[г1,гз] - «;iE[fil -«2=0, 2wiCov[f2, ri] -I- 2w2Var[r2] -b 2а;зСоу[г2, гз] - «iE[f2] -«2 = 0, 2wiCov[r3,fi] -I- 2а)2Соу[гз,Г2] + 2w3Var[f3] - К1Е[гз] -«2=0,

10 - (wiE[fi] -b W2E[f2l + и;зЕ[гз]) = 0, 1 - (Wi -t- W2 + W3) = 0.

Мы сконцентрируем внимание на первых трех. Посредством умножения на матрицу, обратную матрице дисперсии и ковариаций, получаем

uj2 \з/

/ 0.0317-0.0037-0.0085\ = 0.5к1 -0.0037 0.0661 0.0371 \-0.0085 0.0371 0.1304/

/ 0.0317-0.0037-0.0085 \ -f0.5K2 -0.0037 0.0661 0.0371 \-0.0085 0.0371 0.1304/

/E[ri]\

E[f2]

\Е[гз1/

(4.70)



Доли портфеля еще зависят от обоих множителей Лагранжа к, и «2- Поэтому мы подставляем

со; = 0.5к1 (0.0317 11.2 + (-0.0037) • 8.3 + (-0.0085) 9.6) +

+0.52(0.0317+ (-0.0037) + (-0.0085)), = 0.5к1 ((-0.0037) • 11.2 + 0.0661 8.3 + 0.0371 • 9.6) +

+0.52 ((-0.0037) + 0.0661 + 0.0371), шз =0.5ki( - 0.0085- 11.2 + 0.0371 • 8.3 + 0.1304-9.6) +

+0.5к2( - 0.0085 + 0.0371 + 0.1304)

в оставшиеся условия оптимальности и получаем 0.5k;i = 8.68 и 0.52 = - -73.08. Соответствующие векторы структуры выглядят следующим образом:

/0.341\

= 0.112

\0.547/

Теперь мы используем оба подхода к оптимизации. При /х, являющимся множителем Лангранжа, функция имеет вид

£ = (/(E[fp],Var[fp])+M

Условием первого порядка оказывается

1-с,

f/£E[fi] + 2(7v(wiVar[7~i] + w2Cov[fi,гг] + шзСоу[гi,гз]) - М = О, (/£;Е[г2] + 2C/v(wiCov[f2,fi] + w2Var[f2] + ызСоу[г2, гз]) -/7 = 0, [/£Е[гз] + 2f7v(wiCov[f3, f i] + W2Cov[f3, гг] + а7зУаг[7з]) - /7 = 0.

U)\ + W2 + 3 = 1-

После перестановки и умножения на матрицу, обратную матрице дисперсии и ковариации, оптимальный вектор портфеля описывается через

/ 0.0317-0.0037-0.0085 \ -0.0037 0.0661 0.0371

-0.0085 0.0371

I 0.0317-0.0037 -0.0037 0.0661 Y-0.0085 0.0371

0.1304

-0.0085\ 0.0371 0.1304/

/E[fi]\

E[f2]

\Е[7з]/

(4.71)

Подходы (4.70) и (4.71) определяют наилучший вектор портфеля для одного и того же инвестора с Е[гр]-Уаг[гр]-предпочтением. Из-за того, что, как матрица дисперсии и ковариации, так и вектор доходности содержат неза-



2 2Uv 2 2Uv

Если мы для подставим число ki = 17.36 и для тдг = = -146.16 и после этого рассчитаем доли, то получим известный уже нам результат = = 0.341, 2 = 0.112,3 = 0.547. Тем самым показано, что при использовании минимизации за множителем Лагранжа скрываются индивидуальные предельные нормы замещения. Первый множитель ki представляет норму замещения между математическим ожиданием и риском, которую имеет анализируемый инвестор в оптимуме. А нужно интерпретировать как индивидуальную теневую цену одной дополнительно инвестируемой денежной единицы. Лишь эти теневые цены являются специфическими для инвесторов и определяют в зависимости от соответствующей функции полезности разные оптимальные векторы портфеля.

4.3.2. Независимые от предпочтения базовые портфели

В экономике существуют два инвестора 1 и 2. Покажите, что каждый инвестор инвестирует в точности в два портфеля, если не существует возможности безрискового вложения. Исходите и далее из того, что в совокупности существуют три возможности рисковых вложений.

Для доказательства мы используем условия оптимальности подхода минимизации из задачи 4.3.1. Сначала посмотрим на создание портфеля инвестора 1. Чтобы не делать громоздкой систему символов, мы откажемся от обозначения отдельных инвесторов, поскольку пока этого не нужно для понимания. Наш инвестор выбирает в соответствии с (4.70) структурный вектор с максимальной полезностью

ujl = 0.5к1 (t?iiE[fi] + t9i2E[r2] + 1зЕИ) + 0.5K2{i9n + 12 + tia), ш*2 = 0.5/.ci(t?2iE[fi] + t?22E[f2] + 1?2зЕ[гз]) + 0.5/.с2(г?21 + 22 + гз), ujI = 0.5Ka(i?3iE[f 1] + тЗзгЕ + 1?ззЕ[гз]) + 0.5K,2(ibi +12 + 133),

причем все "dkj - это элементы матрицы, обратной матрице дисперсии и ковариаций. Как уже известно из задачи 4.3.1, в оптимуме верно

«1 = -Т, «2 =

Для того чтобы видеть, что избранные два базисных портфеля независимы от инвестора, мы расширим соответствующие правые части уравнения определения для структурного вектора. После умножения первого члена на

висимые от инвестора рыночные данные, оба метода оптимизации приводят лишь тогда к тому же результату, когда

К1 Ue jj

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [ 67 ] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]