1+Г;
для соответствующего сбережения инвестора 2. При использовании этого определения мы расширим fij с помощью
ад = 1 и SllSl = \.
Получим
-""Si- + s2-
Так как для индивидуальной оптимальной доли портфеля верно
nip(Xi) = -5-,
то (4.55) можно свести к
Si +52 •
Тогда вынесение uji из знаменателя сразу покажет соответствие между оптимальной индивидуальной долей портфеля и соответственно взвешенной долей в рыночном портфеле
Уравнение
можно доказать аналогичным образом. Независимо от того, вложит ли инвестор один рубль или один миллион рублей, он всегда разделит сумму между обеими рисковыми ценными бумагами в соотношении wi : W2- Из этого обязательно следует, что все сбережения в экономике, предназначенные для рисковых вложений, тоже будут распределены в таком же соотношении между обоими титулами.
4.2.2.8. Зависимая от предпочтения инвестиция в рыночный портфель
Докажите, что сильно нерасположенный к риску инвестор в оптимуме вложит более высокую долю своего портфеля в безрисковый актив, чем слабо нерасположенный к риску.
При Сц, являющейся оптимальным уровнем потребления, мы получим при учете цен потребительских благ и ценных бумаг оптимальные сбережения
5* = Со + + 14 Р{Х,) + П2Р{Х2) - Со* =
1 + Г/
+ni?j(Ai) + n2P(2). (4.56)
S* = nip(Ai) + П2р(А2) является значением рискового портфеля. Так как
-ди/дУаг[Сг] E[f,„] - г/ 1 д 1 dU/dE[Ci] Var[f
при A, являющейся рыночной ценой риска, рискованно инвестируемую сумму можно также записать как
Su =---А. (4.57)
dU/dE[Ci]
Подстановка (4.57) в (4.56) и деление на S* приводит к
S*{l+rf) 2 5* -ди/дУаг[С,]
dU/dE{Ci]
Из-за деления на 5* в правой части находятся уже не абсолютные суммы, вложенные в безрисковые или рисковые активы, а соответствующие доли. Выражение
-dU/dyar[Ci] dU/dE[Ci]
в (4.58) представляет собой предельную норму замещения (MRS) между ожидаемым возвратным потоком и риском этого возвратного потока. Для сильно нерасположенного к риску человека MRS высока. Индивидуумы, которые являются настолько не расположенными к риску, имеют более низкую MRS. Так как MRS в (4.58) находится в знаменателе, рискованно вложенная доля тем ниже, чем выше MRS. Значит, сильно нерасположенные к риску люди инвестируют относительно большую долю своих сбережений в безрисковые титулы.
4.2.2.9. Уравнение доходности
Выведите из уравнения цены в задании 4.2.2.5 уравнение доходности.
С помощью зависимой от ситуации доходности ценной бумаги
Г1 = -=--1
P{Xi)
и определения (4.40) уравнение цены можно записать и в форме
E[Ai]-Ap(Ai)Cov[fi,f,nl
Если выразить данную формулу через p{Xi), то это даст
l + vf + ACov[ri, 7-,„] При учете (4.37) эта формула преобразуется в
EfXi] E\Xi]
Образование обратной величины непосредственно показывает, что в равновесии на рынке капитала должно быть верным
E[ri] = /•/ + ACov[fi.f,„],
Очевидно, что ожидаемая доходность бумаги j зависит от двух детерминант, а именно
• от безрисковой ставки процента г/ и
• премии за риск.
Премия за риск сама по себе образована из «рыночной цены риска» (Е[7,„] -- r/)/Var[f,„] и количества риска, а значит, ковариаций доходности бумаги и доходности рыночного портфеля.
4.2.3. Оптимальная структура портфеля
Рассчитайте с помощью данных из табл. 4.6 оптимальные рисковые доли портфеля.
Вначале мы рассчитаем матрицу, обратную матрице «дисперсия-ковариация»
/ Var[Xi] Cov[Xi,X2l\ VCov[X2,Xil Var[X2] /
0.0045 -0.0090\ -0.0090 0.0200у
Так как мы имеем дело с матрицей 2x2, мы должны заменить цифры вдоль главной диагонали, поменять знаки чисел побочных диагоналей и, наконец.