Cov[XbA„,

Незначительная перестановка дает нам равновесную цену первой рыночной бумаги

МА,) = ММ£Х11. (4.47)

1 + rj

Аналогично равновесная цена для ценной бумаги 2 определяется как

Сейчас уясним для себя, что в равновесии на рынке капитала и оцененный спрос должен соответствовать оцененному предложению, так что верно

п\р{Х,) + n?/,(Ai) + п\р{Х2) + п1р{Х2) = р{Х,,,). (4.49)

Подстановка (4.47) и (4.48) в (4.49) и вынесение за скобки 1/(1 +?/) приведет нас при учете представленного в таблице обстоятельства

после незначительной перестановки к

(1 + г/)р(А,п) = Е[А,„] - ЯСоу[А,„. А„,]. (4.50)

Из ?"•„, = A„i/p(A,„) - 1 можно легко извлечь Х,„ и подставить в (4.50). Таким образом, мы получим

Я Var[p(A„0(l + гт)] = Е[р(Х„г)(1 + г,,,)] - р{Х,„){\ + 77).

Цена рыночного портфеля является постоянной, и поэтому ее можно переставить на место перед оператором математического ожидания, так что после деления на р(Ат) получаем выражение

Яp(A„,)Var[f,„] = 1 + Е[7\,] - (1 + 77)

В равновесии совокупное предложение ценных бумаг должно соответствовать совокупному спросу на них. Условие выполнено, если на предложенные на рынке денежные потоки существует спрос, так что верно

X,n = {n\+n,)Xi + {n\ + nl)X2. С учетом этого для Н мы получим выражение

E[Xi]-(l-r7,p(A-i)

и наконец

Elf,

p{X,„)Yar[r,„]

Я определяется через рыночные величины независимо от инвестора. Если мы сейчас подставим Я и Х,„ в (4.47) и, кроме того, учтем (4.40), непосредственно получим искомую независимую от инвестора формулу цены

Цена p{X2) из (4.48) определяется совершенно аналогично.

4.2.2.6. Независимая от предпочтения структура портфеля

Докажите, что оптимальная структура рискового портфеля не зависит от функции полезности индивидуального инвестора и, следовательно, идентична для всех участников рынка.

Для доказательства того, что оптимальная структура рискового портфеля независима от инвестора, мы объединим (4.27) и (4.28) в матричную форму

/E[X:]-rfpiX:)\ \E[X2]-rfp(X2)J

( Var[Xi] Cov[Xi,X2]\ (n\h\

VCov[A2,A,] Var[A2] / \"27

Перемножение данной матрицы и матрицы, обратной матрице «дисперсия-ковариация», дает

/ Var[Xi] Cov[Xi,X2l\ VCov[X2,Xi] Var[X2] )

/e[Xi]-(l + ;7)p(X,)\ Ve[A2] - (1 + Г/)р(Х2)У

(4.51)

Сейчас мы должны вспомнить, что при условии САРМ все субъекты имеют однородные ожидания. Значит, в левой части (4.51) находятся лишь наблюдаемые рыночные величины (эти величины одинаковы для всех инвесторов, если исходить из предпосылки однородности). Это позволит нам сделать следующее упрощающее действие:

/ Var[Xil Cov[XbA2]\ VCovlAa,!] Var[A2] /

/Е[А,]-(1 +г;)7)№)\

(4.52)

Из этой формулы с учетом (4.51) следует

" = - и Г).> = h - h

причем вспомогательные переменные О, и 0-2 не зависят от индивидуальных предпочтений инвесторов. Подстановка в (4.35)

jpiX:) + 1p{X2)

О, p(Ai)+tf2P(A2)

(4.5.Я) (4.54)

сразу показывает, что оптимальная структура портфеля -i не зависит от инвестора. Равенство = можно получить аналогичным образом.

4.2.2.7. Индивидуальный портфель и рыночный портфель

Покажите, что структура рискового оптимального портфеля каждого инвестора совпадает со структурой рыночного портфеля.

* л *

Рыночный портфель состоит при наличии двух рисковых ценных бумаг и двух индивидуумов из долей П] и причем

П2 =

п\р(Х:) + nip{Xi)

п\ p{Xi) + np{Xi) + П2Р(А2) + piXn)

П2 р(Х2) + Щр(Х2)

п{ р{Х,) + ni p{Xi) + nl р(Х2) + п2 р(А2)

Пусть совокупные сбережения индивидуального инвестора будут 11авны S. Вложенное с риском сбережение индивидуального инвестора обозначим 5„. Для упрощения системы обозначений мы используем формулу

Sl=n\p{Xi)+n\p(X2) для вложенного с риском сбережения инвестора 1 и

Sl=n\v{X,) + nlp{X2)