назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [ 59 ] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


59

Сконцентрируем внимание исключительно на условии первого порядка (4.23) и (4.24). На пути к желаемому результату мы должны пройти два этапа. Конец первого этапа отражается в равенствах

E[.Yi] - (1 + r/)p(Xi) = h (п, Var[A,] + п. Cov[A,. Л,] , (4.27)

ЩХг] - (1 + 77)(2) = ri2 Yav[X2] + 7;i-Cov[A2, Al]

(4.28)

Отдельные шаги на пути к этому промежуточному результату выделены в тексте курсивом.

Удаление множителя Лагранжа. Для этой цели мы преобразуем (4.22) таким образом, что возникнет

к = - (1 + rf).

и подставим данное выражение в (4.23) и (4.24). Это приведет к

ди ~ ди f - - - \ -=-E[Ai] +- 2/м VarLYij + 2 7)..,Cov[Ai.X,

(4.29)

дЦ дЕ[С,

Е[А-2] + -

ди dE[Ci ди

(l+77)p(A-i) = 0,

2 772 Var[A2l + 2 7)1 Cov[A2, Al]

c?Var[Ci] V (l + 7).№) = 0.

(4.30)

(4.31)

Упрощения. После этого с формулами (4.30) и (4.31) производятся следующие операции:

вычитание

aVar[Ci] V dU (

дЧйг[Сх] V

711 Var[Xi] + 7(2 Cov[Ai, А2 П2 Var[A2] + 711 Cov[A2, Al

из обеих частей,

• подстановка в скобки dU/dE\Ci\ в соответствующих левых частях,

• деление обеих частей на dU/OE[Ci]. Таким образом, мы получим



dU/dE\Ci

Замещение. Теперь мы заменим предельную норму замеи1,ения между ожидаемым потреблением и риском потребления показателем

/, = 2-L-Lii при )G 1,2), 4.34

причем h подчеркивает зависимость от инвестора предельной нормы замещения. Новую полученную вспомогательную переменную подставляем в (4.32) и (4.33). Это наконец приведет нас к формулам (4.27) и (4.28).

Формулировка определений и правил расчета. Перед тем как мы начнем проходить второй этап, сформулируем целесообразные для этого определения и правила расчета. Нам необходимы приведенные в табл. 4.7 формулы. Дальнейшие преобразования. Если мы выразим (4.27) и (4.28) через /;, то для инвесторов 1 и 2 получается

/,1 = E[Ai]-(l-r,-)p(A,)

7i5Var[A!] + ni,Cov[Ai,A2]"

Е[Х,]-{1-г/)р{Хг) nfVarlAi]+772Cov[Ai,A2] Если мы преобразуем эти матрицы в обратные, то получим

1 niVar[Ai] + ?7,Cov[Ai, А2] JJ- E[Ai]-(l-77)p(A,)

Тогда суммирование дает

1 1 77.iVar[Ai] + 77Cov[Ai, А2] + rj/jVarjAi] + nlCovlXiXn] hl E[Ail-(l-77)p(A0

С учетом определения 1/Я = (l г) + (l/Zi) после применения тождества ковариации из табл. 4.7 получаем:

] Cov[Ai, (77; + 77)Ах + (77,1 2X2] Н" E[Xi]-(l-rp(Xi)

Е[Л2]-(1+г/)р(А-2) = = 2 /Х Г.2 Var[A-2] + Cov[A2. АПУ (4.33)



Таблица 4.7. Определения и правила расчета

Доли портфеля

П2Р{Х2) "2Р(А2)

nip{Xx) +П2р(Х2)

Математические ожидания доходности

EjAi

P(X1)

Р{Х2)

Дисперсия доходности

Var[n] = Var

P(A-i)

= Var

Var[Xi

P(-V2)2

Ковариаций доходности и денежного потока

Cov[.Yi, r,„l = Cov[p(Xi)( 1 + f 1), r„] = p(Ai )Cov[l + f 1, ?=„ = p(Ai)Cov[fi,f„,]

Ожидаемый денежный поток индивидуального оптимального портфеля

Е[А,„]=(.., E[Xi]+t2E[X2]

Дисперсия денежного потока индивидуального оптимального портфеля

Var[X„.] = uji Var[Xi] + uj Var[A2] + 2ui uj2 Cov[X,, X2] Тождества ковариаций

LJi Var[Ai ] = uji Cov[Ai, Ai W2 Cov[A,, A2 Cov[Ai, LJi Ai] + Cov[Ai, UJ2 A2] = Cov

Cov[Ai,ti Ai] Cov[Ai,tJ2 A2]

Ai, luj] Ai + UJ2 X2

(4.35) (4.36)

(4.37)

(4.38) (4.39)

= Cov[Ai. A„

uj\ Cov[Ai, A„ij + U12 Cov[A2, A,„] = Cov

oji Ai + UI2 A2 j , A,n

Cov[A,„,A] = Var[A,n]

(4.40)

(4.41)

(4.42)

(4.43) (4.44)

(4.45) (4.46)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [ 59 ] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]