Вы стоите перед проблемой выбора одного из многих распределений потребительских благ, которое максимизирует вашу полезность. Выбор происходит посредством двух частичных решений. Вы должны
1) установить ваше сегодняшнее потребление Со и ваше сбережение и
2) распределить ваше сегодняшнее сбережение между рисковыми и безрисковыми активами.
Так как каждая возможная комбинация параметров по, ?i и 7)2 детерминирует определенное распределение потребительских благ, выбор «наилучшего» распределения происходит через оптимизацию этих трех параметров принятия решения. При решении этой задачи оптимизации вы должны соблюдать ограничения для двух моментов времени. В отношении момента времени t = О должно быть выполнено ограничение
Со + "оу + "1 + "2 = 1000 + 50000 • + 10000 + 10000.
В отношении момента времени t = 1 должно быть соблюдено бюджетное ограничение, которое мы можем описать с помощью математического ожидания
E[Ci] = 770 + 77 1 1.1 + 772 • 1.185 (4.18)
и дисперсии
Var[Ci] = 77 0.0045 + 77, -0.0200+ 2771 77.2 - (-0.009) (4.19)
Cov[Xi, Хг] = 0-6 • (1.05 - 1.1) • (1.3 - 1.185) + + 0.3-(1.2-1.1)-(1-1.185) + + 0.1 • (1.1 - 1,1) • (1,05 - 1,185) = = -0.009.
Так как участники рынка имеют однородные ожидания, данные в табл. 4.С и рассчитанные здесь значения для всех участников рынка одинаковы.
4.2.2.2. Подход Лагранжа
Ваша функция полезности имеет вид:
и = C/(Co.E[Ci],Var[ri]).
и пусть рынок капитала характеризуется данными из табл. 4.G. Вашим начальным запасом являются потребительские блага и ценные бумаги, причем Со = 1000, По = 50 000, Jii = 10000 и П2 = 10 000. Единица потребительского блага стоит Ф = I. Опишите вначале проблему принятия решения и сформулируйте после этого соответствующий подход Лагранжа.
будущего потребления. (4.18) и (4.19) можно включить в функцию полезности [/(Co.ElCi], Var[Ci]), так что при формулировании подхода Лагранжа необходимо лишь учесть ограничения для момента времени t = 0. Мы получим в общем
С = и Co,no + niE[Xi]+n2E[A2], \--
Е[ГЛ1
п1 Var[Ai] + Var[A2l + 2;)] 7i2Cov[Ai. А2] ) +
Со + По
1 + г
Var[C,j
-i-?llp(Ai) + 7l2p(A2) -
1 - ~ \
- Со - По ---п1 ;7(Ai) - 7)2 /7(А2) .
1 + 77 У
или после подстановки данных рынка капитала
С = и(со,по + 771 1-1 + п2 1.185, п20.0045 + п- 0.0200 + 277, 7)2 (-0.009)) +
(4.20)
1000-f 50ООО-V 1.12
+ 10 000 -1- 10 000 - Со - Пи
1.12
- 71 - /2 -
4.2.2.3. Условия оптимальности
Выведите из функции Лагранжа, описанной в предыдущей задаче в общем виде, условия первого порядка для межвременного максимума полезности инвестора.
* * -л-
Функция для максимизации задана формулой (4.20). Дифференцирование по Со, 710, «], 712 и к и приравнивание к нулю полученных таким образом выражений позволяют найти искомые условия первого порядка
ОС ди
дСо дС
дСо ди
- к = 0,
дпо dE[Ci] 1 + rf
к = О,
(4.21) (4.22)
См. по этому поводу рис. 4.10 на с. 184. Для каждого 7io существует кривая трансформации. Инвестор ограничен тем, что он может выбрать лишь такие комбинации математического ожидания и дисперсии, которые «возможны», а значит, находятся на одной и той же кривой трансформации. Расположение и вид семейства кривых трансформаций были описаны формулам (4.18) и (4.19).
то подстановка в (4.22) даст после преобразований
ди/дСо
ди/дЦС,
= 1 + 77. (4.26)
Решение о том, каков будет объем отказа от потребления в f = О, или, иными словами, сколько нужно сберечь, будет принято только на основе безрисковой ставки процента. Условие (4.26) соответствует условию оптимальности для принятия решения о потреблении и сбережении в условиях определенности.
4.2.2.5. Оптимальные инвестиционные планы и уравнение цены
Рассмотрите условие первого порядка из задачи 4.2.2.3 и выведите соответствующее равновесию на рынке капитала уравнение цены.
ЛЩХ,]+ (4.23)
+ .J 1 (2 ш Var[Al 1 + 27)2 Cov[X,, Аг]) - к ?>(Ai) = О,
= -Е[А2]+ (4.24)
+ -(2 7)2 Var[A>] +2 7/1 Cov[A2, Al]) ~ «?(A2) = 0. OVar[Ci] V /
= Co + 770 -- + 1 P(Ai ) + 7)2 p(A2) - (4.2.5)
OK I + rf
-Co ~ 7)0 -~--7)] ?)(Al) - П2Р{Х2) = 0.
1 +г/
4.2.2.4. Решение «потребление-сбережение»
Докажите, что сумма, которую инвестор в совокупности сбережет, зависит лишь от безрисковой ставки процента.
* * •л-
Для этого доказательства мы используем оба условия первого порядка (4.21) и (4.22). Если выразить (4.21) через множитель Лагранжа
к. =