назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [ 58 ] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


58

Вы стоите перед проблемой выбора одного из многих распределений потребительских благ, которое максимизирует вашу полезность. Выбор происходит посредством двух частичных решений. Вы должны

1) установить ваше сегодняшнее потребление Со и ваше сбережение и

2) распределить ваше сегодняшнее сбережение между рисковыми и безрисковыми активами.

Так как каждая возможная комбинация параметров по, ?i и 7)2 детерминирует определенное распределение потребительских благ, выбор «наилучшего» распределения происходит через оптимизацию этих трех параметров принятия решения. При решении этой задачи оптимизации вы должны соблюдать ограничения для двух моментов времени. В отношении момента времени t = О должно быть выполнено ограничение

Со + "оу + "1 + "2 = 1000 + 50000 • + 10000 + 10000.

В отношении момента времени t = 1 должно быть соблюдено бюджетное ограничение, которое мы можем описать с помощью математического ожидания

E[Ci] = 770 + 77 1 1.1 + 772 • 1.185 (4.18)

и дисперсии

Var[Ci] = 77 0.0045 + 77, -0.0200+ 2771 77.2 - (-0.009) (4.19)

Cov[Xi, Хг] = 0-6 • (1.05 - 1.1) • (1.3 - 1.185) + + 0.3-(1.2-1.1)-(1-1.185) + + 0.1 • (1.1 - 1,1) • (1,05 - 1,185) = = -0.009.

Так как участники рынка имеют однородные ожидания, данные в табл. 4.С и рассчитанные здесь значения для всех участников рынка одинаковы.

4.2.2.2. Подход Лагранжа

Ваша функция полезности имеет вид:

и = C/(Co.E[Ci],Var[ri]).

и пусть рынок капитала характеризуется данными из табл. 4.G. Вашим начальным запасом являются потребительские блага и ценные бумаги, причем Со = 1000, По = 50 000, Jii = 10000 и П2 = 10 000. Единица потребительского блага стоит Ф = I. Опишите вначале проблему принятия решения и сформулируйте после этого соответствующий подход Лагранжа.



будущего потребления. (4.18) и (4.19) можно включить в функцию полезности [/(Co.ElCi], Var[Ci]), так что при формулировании подхода Лагранжа необходимо лишь учесть ограничения для момента времени t = 0. Мы получим в общем

С = и Co,no + niE[Xi]+n2E[A2], \--

Е[ГЛ1

п1 Var[Ai] + Var[A2l + 2;)] 7i2Cov[Ai. А2] ) +

Со + По

1 + г

Var[C,j

-i-?llp(Ai) + 7l2p(A2) -

1 - ~ \

- Со - По ---п1 ;7(Ai) - 7)2 /7(А2) .

1 + 77 У

или после подстановки данных рынка капитала

С = и(со,по + 771 1-1 + п2 1.185, п20.0045 + п- 0.0200 + 277, 7)2 (-0.009)) +

(4.20)

1000-f 50ООО-V 1.12

+ 10 000 -1- 10 000 - Со - Пи

1.12

- 71 - /2 -

4.2.2.3. Условия оптимальности

Выведите из функции Лагранжа, описанной в предыдущей задаче в общем виде, условия первого порядка для межвременного максимума полезности инвестора.

* * -л-

Функция для максимизации задана формулой (4.20). Дифференцирование по Со, 710, «], 712 и к и приравнивание к нулю полученных таким образом выражений позволяют найти искомые условия первого порядка

ОС ди

дСо дС

дСо ди

- к = 0,

дпо dE[Ci] 1 + rf

к = О,

(4.21) (4.22)

См. по этому поводу рис. 4.10 на с. 184. Для каждого 7io существует кривая трансформации. Инвестор ограничен тем, что он может выбрать лишь такие комбинации математического ожидания и дисперсии, которые «возможны», а значит, находятся на одной и той же кривой трансформации. Расположение и вид семейства кривых трансформаций были описаны формулам (4.18) и (4.19).



то подстановка в (4.22) даст после преобразований

ди/дСо

ди/дЦС,

= 1 + 77. (4.26)

Решение о том, каков будет объем отказа от потребления в f = О, или, иными словами, сколько нужно сберечь, будет принято только на основе безрисковой ставки процента. Условие (4.26) соответствует условию оптимальности для принятия решения о потреблении и сбережении в условиях определенности.

4.2.2.5. Оптимальные инвестиционные планы и уравнение цены

Рассмотрите условие первого порядка из задачи 4.2.2.3 и выведите соответствующее равновесию на рынке капитала уравнение цены.

ЛЩХ,]+ (4.23)

+ .J 1 (2 ш Var[Al 1 + 27)2 Cov[X,, Аг]) - к ?>(Ai) = О,

= -Е[А2]+ (4.24)

+ -(2 7)2 Var[A>] +2 7/1 Cov[A2, Al]) ~ «?(A2) = 0. OVar[Ci] V /

= Co + 770 -- + 1 P(Ai ) + 7)2 p(A2) - (4.2.5)

OK I + rf

-Co ~ 7)0 -~--7)] ?)(Al) - П2Р{Х2) = 0.

1 +г/

4.2.2.4. Решение «потребление-сбережение»

Докажите, что сумма, которую инвестор в совокупности сбережет, зависит лишь от безрисковой ставки процента.

* * •л-

Для этого доказательства мы используем оба условия первого порядка (4.21) и (4.22). Если выразить (4.21) через множитель Лагранжа

к. =

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [ 58 ] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]