4.2. Решение «потребление-сбережение» и САРМ

Большую значимость САРМ можно объяснить за счет теоремы разделения Тобина. Тобин показал, что решения об инвестициях и потреблении можно разделять также и в стохастических условиях. Если существует возможность капиталовложения без риска, то инвесторы независимо от того, как велико их капиталовложение, инвестируют в рыночный портфель и в безрисковую ценную бумагу. Индивидуальная расположенность к риску не играет роли для состава рискового портфеля и для рыночной цены, которую достигает риск в равновесии. Таким образом, теорема разделения содержит не только теоретическое обоснование для возможности делегирования решений о портфеле, но также обосновывает независимые от предпочтения решения менеджеров о рисковых инвестиционных проектах.

Наша цель состоит в том, чтобы аналитически корректно и в то же время доступно представить основные идеи САРМ. Для этого мы скрупулезно следуем подходу в учебнике и, таким образом, версии САРМ Моссина. Однако мы сведем количество рисковых финансовых титулов и инвесторов к минимуму. Для помещения сбережений имеются одна безрисковая и две рисковые ценные бумаги. На рынке действуют лишь два инвестора. Как образуется равновесие в этом упрощенном мире «одно благо - три ценные бумаги»? Теоретический анализ, необходимый для ответа на этот вопрос, будет проделан нами поэтапно с помощью следующих одна из другой частных задач. Анализ обрамляется одной вступительной задачей и набором заключительных задач. Первая освещает ограничения, с которыми сталкивается инвестор, принимающий решения на основе принципа «дисперсия- математическое ожидание». Последняя служит для изображения важнейших следствий из модели на примере конкретных данных и графиков.

4.2.1. Бюджетное ограничение

На рынке капитала существуют три ценные бумаги, которые можно идентифицировать через их денежный поток. Все титулы обращаются в f = О по одинаковой гарантированной ценер(Ло) =7(Ai) = р{Х2) = 1.00 руб. Нулевая ценная бумага является безрисковым вложением и «обещает» возвратный поток в объеме Хо = 110 руб. При наличии двух рисковых ценных бумаг можно ожидать возвратные потоки в объеме ЩХх] = 1.20 руб. и ЩХо] = = 1.50 руб. Вашим начальным запасом являются:

• потребительские блага в объеме vCo = 2 • Со = 20 000 руб.,

• безрисковые бумаги в количестве ;";о = 10 000 шт.,

• рисковые титулы в количестве пх = 20 000 и f)2 = 30 000 шт.

1. Сколько потребительских благ вы можете максимально потреблять в t = О?

2. Как велико максимальное потребление в = 1, если вы принципиально

откажетесь от рисковых вложений, а инфляция на рынке потребительских благ является нулевой? Вы принимаете свое решение о потреблении и сбережении на основе функции полезности L(Co.E[(7i], Var[Ci]). Объясните вербально и аналитически с помощью вышеприведенных данных начального запаса ограничения, которые вы должны соблюдать при максимизации своей полезности. Исходите сейчас из цены потребительского блага, равной -ф- Дисперсия возвратных потоков первого титула составляет 0.3, второго -О..). Ковариация возвратных потоков имеет значение 0.01.

* * *

1. Стоимость вашего начального запаса составляет

ф-Со+р{Хо)-по+р{Х,)-Гп -\-р{Х2) П2- (4.16)

После подстановки стоимости благ, количества штук и цен в (4.16) получим

20 ООО + 10 ООО + 20 ООО + 30 ООО = 80 ООО. Если все это расходуется в t = О, то мы можем потреблять

80 ООО

- = 40 000

единиц благ.

2. Если все 80 000 руб. сберегаются и будут помещены по безрисковой ставке процента 77 = 0.1, в f = ] возможен уровень потребления, равный

М:Н= 44 000

единиц благ.

3. Во-первых, в t = {) нельзя потреблять и сберегать больше, чем на сумму, превышающую начальный запас. Во-вторых, нельзя накапливать никаких сумм или вкладывать в кассу и, в третьих, не допускается расточительство потребительских благ. Так как все цены сведены к единице, то начальный запас составляет 70 000 руб. При Со, являющимся спросом на потребительские блага, по - спросом на безрисковую и "ь"2 - объемами спроса на рисковые ценные бумаги, ограничение для совокупного спроса в i = О выглядит следующим образом:

Со + по+пх +7)2 = 70000.

И в i = 1 возможно лишь потребление зависимых от ситуаций возвратных потоков. Расточительство снова исключено. Аналитически ограничение можно записать как

Су = па Ха + пх Хх + П2 Х2- (•4-17)

Это зависимое от случайности ограничение необходимо теперь преобразовать в математическое ожидание и дисперсию будущих уровней потребления. Это необходимо, так как вы можете оценить будущие значения распределения потребления с позиции сегодняшнего дня на основе своей функции полезности лишь тогда, когда известны оба эти числа. Из (4.17) получается

E[Ci] = по (1 + vf) + и: Е[АМ + Е[Л2], = По 1.1 + m 1.2 + П2 1.5

Var[Ci] = n2Var[.Yi] + nj Var[.Y2l + П2 Cov[A,, X2], = ni 0.30 + nl 0.50 + 2n,i П2 (-0.01).

4.2.2. Модель трех ценных бумаг 4.2.2.1. Данные рынка капитала

Объектами помещения ваших сбережений являются охарактеризованные в табл. 4.С ценные бумаги. Рассчитайте с помощью этих данных математическое ожидание и дисперсию возвратных потоков для обеих рисковых бумаг. Каково значение ковариаций возвратных потоков?

Таблица 4.6. Цены и денежные потоки трех ценных бумаг

* * *

Мы получаем для обоих титулов математическое ожидание, дисперсию и ковариацию возвратных потоков следующие результаты:

E[.Yi] = 0.G • 1.05 + 0.3 • 1.2 + 0.1 • 1.1 = 1.1, Е[Х2] = 1.1«5,

VariXij = 0.6 (1.05 - 1.1)2 + 0.3 (1.2 - 1.1) + 0.1 (1.1 - 1.1) = = 0.004502,