0.1579

1 -UJ

-Ll.O

п-1-г

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

а\гр\

Рис. 4.4. Кривая трансформации с = - 1

Мы дифференцируем сначала (4.8) и (4.10) по uj и определяем после этого при учете

6>е[гр1 дЩгр]10и}

Оа[гр\ да[гр\/Ои) наклон кривой трансформации. При

дщг-р]

да[гр duj

= Щг2\ - Е[гз

= а[г2] +т[гз]

мы получим после подстановки значений из табл. 4.2

дЩгр] Е[7Ъ]-Е[гз1

да[гр\ a[f2\ + a[fi]

= 0.G055.

Так как наклон постоянен, то кривая трансформации в случае 1 имеет вид прямой с положительным наклоном в форме Mj-p] = « + 0.6055(7[7"р]. Случай 2. Знак выражения в скобках в (4.9) отрицателен. Наклон кривой трансформации определяется аналогично случаю 1. Он составляет

дЕ[гр] E[r-2l - Е[гз dalrp]

-(7 Г2 - (7 Гз

= -0.6055.

Мы получаем прямую линию вида Е[7~р] - а - 0.6055<7[гр]. Кривая возможных действий, очевидно, образуется из двух прямых линий по абсолютной сумме одинакового наклона. Нам известны две координаты кривой. Они могут находиться на одной и той же прямой линии лишь при полной положительной корреляции, см. с. 152. При имею-

(Г[Г2\ + (Г[Гз\

Портфель с наименьшим риском содержит на 47.37% ценную бумагу 2 и на 52.63% ценную бумагу 3. Он приносит в каждой ситуации s одинаковую доходность

rps = 0.4737 7-2, + 0.5263 7-3., = 0.1579.

4.1.5. Кривая трансформации при трех ценных бумагах

Пусть рынок капитала состоит из трех рисковых ценных бумаг.

Альтернативно к этому мы получаем также ш, если мы подставим значение отрезка ординаты в формулу (4.8).

щемся здесь коэффициенте корреляции -1 мы можем исключить возможность того, что точки (£[/2],[гг]) и (Е[гз], (7[7~з]) лежат на одном и том же отрезке прямой. Кроме того, так как продажи без покрытия не допущены, мы знаем, что обе координаты являются самыми восточными точками кривой трансформации в координатах «доходность- риск». Поэтому северная точка должна находиться на отрезке кривой трансформации с положительным наклоном, южная - на отрезке с отрицательным наклоном. После этих предварительных рассуждений мы можем по отрезкам определить кривую трансформации через подстановку соответствующих координат в общую формулу уравнения у = - а + Ьх. При

0.2G85 = « + 0.G055 0.i82G

().0,-,84 = а- 0.6055-0.1644 для северного отрезка получим

Е[7>] = 0.1579 + 0.6055 alf-p]

и для южного

Е[7>] = 0.1579 - 0.6055 п[гр].

Рис. 4.4 показывает комбинацию «доходность-риск», которая достижима при разных структурах портфеля. В общем отрезке ординаты обоих прямых при положительной ожидаемой доходности дано совершенное уничтожение риска. Здесь находится также портфель с наименьшей дисперсией. Для специального случая 72.3 = -1 портфель с наименьшим риском приносит гарантированную (безрисковую) доходность. Структуру можно рассчитать, если приравнять к нулю (4.9) и выразить эту формулу через структурную переменную

fl = 0.4737.

Коэффициенты корреляции в связи с доходностями ценных бумаг составляют

QAD = -0.5, длс = О, две = -0.6.

1. Рассчитайте портфели из двух ценных бумаг, имеющие структуру с наименьшей дисперсией.

2. Каковы доходность и риск портфеля, который состоит из одинаковых долей трех ценных бумаг?

.3. Оцените кривую трансформации для портфеля из трех ценных бумаг.

* *

1. Структура портфеля с наименьшим риском при двух ценных бумагах рассчитывается по формуле

Var[7.2] - Cov[ri,7~2l

Var[ri] + Var[7~2] - 2 Cov[7i, 7~2] причем UJ является долей первой бумаги. При учете

С0У[7Ч,Г2] = £>i2<7[?Mcr[7~2l

МЫ получаем для портфеля, состоящего из бумаг А и В,

0.0625- (-0.5)0.1-0.25

0.01 + 0.0625 - 2(-0.5) 0.1 • 0.25 и)в = 1 - OJA = 0.2308,

- = 0.7692,

для портфеля, содержащего А и С,

0.16-0.0.1-0.4

0J л = -

0.01-1-0.16-2. О-0.1 .0.4

wc = 1 - = 0.0588

= 0.9412,

и для портфеля, в котором содержатся акции В и С,

0.16- (-0.6)0.25.0.4

0.0625 + 0.16 - 2 (-0.6) 0.25-0.4 = 1 - = 0.3577.

= 0.6423,

Табл. 4.5 показывает координаты соответствующих портфелей с наименьшей дисперсией.