назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [ 52 ] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


52

* * *

1. Кривая трансформации является геометрическим местом всех комбинаций «доходность-риск», которых инвестор может достичь посредством «смешивания» двух ценных бумаг. Каждой точке кривой трансформации соответствует «своя» структура портфеля. Вид кривой зависит от корреляции между доходностями ценных бумаг. В этой задаче предполагается совершенно положительная корреляция между доходностями акций 1 и 2. Мы хотим показать, что кривая трансформации в этом специальном случае имеет вид прямой линии. Для этого нам необходима сначала формула доходности и дисперсии для портфеля, состоящего из акций 1 и 2. Для ожидаемой доходности E[fp] верно

E[fp] =tE[n] + (1-t)E[?--2] (4.0)

при UJ, являющейся стоимостной долей в портфеле акции 1. Дисперсия портфеля определена как

Var[fp] = Уат[1\] -t- (1 - tof Varlr] +

Для специального случая полной положительной корреляции (и только для этого случая) Var[fp] является возведенным во вторую степень

E[fp] = 1.5 • 0.2685 + (-0.5) • 0.15 = 0.3277.

Риск составляет

а[гр] =v/l.52 • 0.03,34 + (-0.5) • 0.01 + 2 • (-0.5) • 1.5 • (-0.5) • 0.1826 0.1 = = 0.302.

Рис. 4.2 показывает соответствующую структуру «доходность-риск».

4.1.4. Полная корреляция и кривая трансформации

1. Рассмотрите портфель, состоящий из бумаг 1 и 2, который показан в табл. 4.1. Определите кривую трансформации при условии, что продажи без покрытия запрещены.

2. Исходите из доходностей акций 2 и 3. Определите кривую трансформации и покажите, что с портфелем из титулов 2 и 3 можно совершенно уничтожить риск без осуществления продаж без покрытия. Как велика доля акций 2 в портфеле с минимальным риском?



а[гр] =y/Yar[rp] = и; (r[r-i] + ( \ -~ lo) а[г2]. (4.7)

Если мы выразим формулу (4.G) через со, то подстановка в (4.7) даст после преобразований

(7[ri] - (Г[Г2] (Г[гх] - (Г[Г2]

Через подстановку цифр из табл. 4.2 можно рассчитать уравнение прямой линии

E[fp) = -3,9942 + 23.34 (т[гг].

Прямая линия в области 0.1739 < (г[гр] < 0.1826 соответствует искомой кривой трансформации при полной положительной корреляции, если продажа без покрытия не допущена (см. рис. 4.3).

На самой северной точке портфель состоит на 100 % из ценной бумаги 2. На южном конце все имущество вложено в ценную бумагу 1. Точка Q отражает комбинацию «доходность-риск» для портфеля, которая состоит на 80% из бумаги 1 и на 20% из бумаги 2. Координаты Q мы получаем через

E[7"-q] = 0.8 Е[п] + 0.2E[7-2l = 0.1059

a[rQ] = 0.8 a[ri] + 0.2 сг[72] == 0.1757.

Уничтожить риск при исключении продаж без покрытия невозможно, так как все достижимые позиции «доходность-риск» можно изобразить лишь как положительные линейные комбинации позиций «доходность-риск» обеих ценных бумаг.

Это можно легко увидеть, если мы вспомним биномиальную формулу. Если мы приравняем а = и; (7[ri] и 6 = (I - ш) ffli], то дисперсию можно определить как

Var[7=p] = (а + bf = а + 6" + 2аЬ.

При дисперсии, равной Уаг[г2] = 0.0334, которую мы определили на с. 146, получаем стандартное отклонение Var[fг] = 0.1826.

средневзвешенным стандартным отклонением

Var[7p] = (Lo (7[fi) + {1 -uj) а[г2

Если мы исключим возможность продажи без покрытия, то доля ui . всегда находится в интервале [0,1], Далее, так как не существует отрицательных стандартных отклонений, выражение в скобках в правой части должно быть положительным. Поэтому для стандартного отклонения мы получим



E[fp] 0.25-

0.05-

iO I - Uj

O.Ot tI.O

l.O-i-

-1-1-1-

0.16 0.17 0.18 0.19

(7 rp

0.2 •0.0

Рис. 4.3. Кривая трансформации с g = \

2. Доходности акций 2 и .3 имеют коэффициент корреляции -1. Для того чтобы показать, что риск можно уничтожить полностью, мы используем две формулы

E[fp] = L0 Е[г2] + Е[7\] (4.8)

Var[fp] = ( to а[г2] - (1 - to) (г\гз]

Но для выведения кривой трансформации мы сейчас предложим другой способ, отличающийся от способа, содержащегося в задаче 4.1.4, 1. Выражение в скобках, которое мы должны возвести во вторую степень, может стать как положительным, так и отрицательным. Но так как не существует отрицательных стандартных отклонений, их нужно исключить. Для этой цели мы в скобках учтем различие случаев и скомбинируем их со знаком перед скобкой таким образом, что результат в любом случае не станет отрицательным

a{fp] = ±( и;а[т-2] - (1 - и;)(г{гз]

(4.9)

Вначале мы определим для обоих случаев наклон кривой трансформации и после этого используем обе координаты (£"[0],(7[7~2]) и (Е[гз], (7[гз]). Оказывается, что кривая трансформации сложена из двух прямых линий.

Случай 1. Знак выражения в скобках в (4.9) является положительным

а[гр\ = и) а[г2\ - (1 - (xi) а[гз].

(4.10)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [ 52 ] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]