назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [ 47 ] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


47

Таблица 3.1. Выплаты и цены

Акция 1

Акция 2

3.3.2. Лемма Минковского-Фаркаша и теория арбитража на основе примитивных ценных бумаг

Объясните содержание леммы Минковского-Фаркаша с помощью векторов. Исходите при этом из данных о рынке капитала, представленных в табл. 3.1.

Признаком свободы от арбитража является существование ценового вектора как положительной линейной комбинации линейно независимых векторов. Для объяснения экономического содержания леммы Минковского- Фаркаша мы проинтерпретируем ЛИВ в качестве возвратных потоков обеих ценных бумаг при вступлении в силу определенной ситуации. Мы говорим о возможности арбитража, если выполнены одновременно два векторных уравнения. Первое связывает структуру арбитражного портфеля с ЛНВ. Второе связывает рыночные цены и структуру портфеля. Для того чтобы можно было изобразить содержание леммы при помощи данных из табл. 3.1, мы сперва определим 2 х 1-вектор структуры портфеля

2 X 2-матрицу выплат с векторами-строками

/0.5

- \

и вектор-строку 1 х п цен

Р = {Р\ Р2) .

Рынок капитала не предлагает возможность арбитража, если можно изобразить р как линейную комбинацию а-.

э = 7га, т.е. р=

0.5\

+ 72

(3.9)

?!, может быть как положительным, так и отрицательным.



причем верно 7,; > 0. Естественно, множители 7; можно проинтерпретировать и экономически. Вспомним свободную от арбитража оценку зависимых от ситуации требований. Там рыночные цены образовывались как сумма платежей, взвешенных по ценам примитивных ценных бумаг и зависимых от ситуации. Это, очевидно, здесь тоже имеет место. Следовательно, 7, является ценой примитивной ценной бумаги, которая в ситуации г порождает возвратный поток, равный одной единице, а во всех других ситуациях характеризуется возвратным потоком, равным 0. Если эту положительную линейную комбинацию нельзя создать, то всегда существует арбитражный портфель, для которого верно

(0.5 3)

>0,

> о

и одновременно

(Р1 Р2)

< 0.

(3.10)

(3.11)

Здесь субъекты рынка всегда имеют шанс стать безгранично богатыми. Существуют портфели с неотрицательными платежами по отрицательным ценам.

3.3.3. Геометрическая версия леммы

Изобразите с данными из табл. 3.1 лемму Минковского-Фаркаша в двумерном векторном пространстве.

Геометрически лемму можно проинтерпретировать следующим образом. Для расположения вектора рыночной цены существуют лишь две возмож-.ности.

• Вектор рыночной цены находится между векторами выплат, см. уравнение (3.9). Тогда нельзя найти вектор структуры, который образует с обеими векторами выплат угол менее 90 градусов, но образует с вектором рыночной цены угол больше 90 градусов. Рынок не предоставляет возможности арбитража, или, иными словами, вектор рыночной цены является свободным от арбитража.

• Вектор рыночной цены находится левее (правее) вектора выплат. Тогда существует вектор структур тг*, который образует с векторами выплаты угол меньше 90 градусов, а с вектором цены, наоборот, угол больше 90 градусов (уравнения (3.10) и (3.11)). Для инвесторов открываются возможности арбитража.

Для иллюстрации мы используем рис. 3.2 и 3.3. На обоих рисунках и а являются векторами выплат обеих ценных бумаг в ситуации 1 или в си-



Рис. 3.2. Отсутствие возможности арбитража

Рис. 3.3. Существование возможности арбитража

туации 2. р представляет собой соответствующий вектор цены. На рис. 3.2 р является свободным от арбитража. Рис. 3.3, наоборот, показывает вектор цены, который создает возможность арбитража. Для уяснения этого мы движемся шаг за шагом. Вначале мы определим две области.

• Область, в которой каждый возможный вектор структуры образует с обоими векторами угол максимум 90 градусов (плоскость 1).

• Область, в которой любой мыслимый вектор структуры образует с данным вектором цены р угол максимум 90 градусов (плоскость 2).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [ 47 ] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]