назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [ 46 ] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


46

3.3. Лемма Минковского-Фаркаша

Теорию арбитража формально можно изобразить через лемму Минковского-Фаркаша. Эта теорема разделения содержит четкие критерии для различения между рынками капитала с существованием и без существования возможностей арбитража. Характерным для свободы от арбитража является существование ценового вектора как линейной комбинации линейно независимых векторов. Если этой линейной комбинации не существует, то возможны арбитражные прибыли. Мы хотим изобразить лемму графически и вынуждены для этой цели провести некоторую «подготовительную работу». Первая задача - познакомиться с необходимыми аспектами векторной алгебры. На основе этого мы соединим формальные выводы леммы с уже полученными знаниями из обоих предыдущих разделов этой главы.

3.3.1. Скалярное произведение и линейная (не-)зависимость векторов

1. Объясните связь между скалярным произведением векторов и векторами включенного угла.

2. Какие из следующих векторов являются ортогональными?

/-2.5\

vi =

/-5\

v4 =

«5 =

Ve =

1 V

3. Что понимается под линейной комбинацией векторов?

4. Какая связь существует в двухмерном векторном пространстве между расположением одного вектора и знаком множителя 7?

5. Проверьте векторы а[, и р на линейную зависимость. Рассчитайте (если это возможно) скалярный множитель линейных комбинаций.

а; = (6 7),

«2 = (7

Pl = (3

Р2 = (4 4), рз = (5 4).



а б в

Рис. 3.1. Скалярное произведение и включенный угол

1. На рис. 3.1, а два вектора включают в себя угол, который меньше 90 градусов. Это приводит к тому, что скалярное произведение этих двух векторов положительно. Векторы, расположенные друг к другу перпендикулярно, называются ортогональными (рис. 3.1, в). Их скалярное произведение равно нулю. Векторы, которые образуют друг с другом угол, превышающий 90 градусов, имеют отрицательное скалярное произведение (рис. 3.1, б). Если обозначить включенный угол символом а, то мы можем обобщенно записать

> О для О градусов < а < 90 градусов vi v2 { =0 для а = 90 градусов

< О для 180 градусов > а > 90 градусов

2. С помощью двумерных векторов можно сформировать скалярные произведения

vi v2 = (-2.5 1) •

vi-3= (-2.5 1]

= (-2.5)-6+1.3=-12<0,

= (-2.5) •2+1-5 = 0,

v2 v3 = (6 3)

[2 V5

= 6.2 + 3-5 = 27>0.

Лишь vi и v3 расположены перпендикулярно друг к другу. Проверка скалярных произведений трехмерных векторов дает

«4 «5 = (2 2 3) •

v4-ve = {2 2 3)

/-5\ 5

\ V

= 2.2 + 2.1 + 3-1=9>0,

= 2 (-5) + 2.5 + 3- 5= 15 > О,



v5-ve = {2 1 1)

/-5\ 5

V 5/

= 2 (-5) + 1 • 5 + 1 5 = 0.

Лишь «5 и г>в являются ортогональными векторами. 3. Вектор v является линейной комбинацией векторов а, если

(3.8)

7 = 1

Двумерное векторное пространство полностью описано двумя линейно независимыми векторами (ЛНВ). Поэтому каждый дополнительный вектор v можно изобразить как линейную комбинацию ЛНВ.

4. Расположение вектора v определяет, являются ли множители 7; положительными или отрицательными. Если v лежит между ЛНВ или если v сам является одним из этих векторов, то верно 7, > 0. Если v проходит справа или слева от ЛНВ, то как минимум один из множителей имеет отрицательное значение, 7, < 0.

5. Можно очень легко проверить, является ли ценовой вектор линейной комбинацией векторов выплат, если представить (3.8) в виде матричного уравнения

Л fG 7\

Pi P2J

Уравнение лишь тогда имеет одно решение ;;ля -п и 72, когда матрица выплат является обратимой. Обратимость предполагает отличный от нуля определитель матрицы коэффициентов. Так как это условие здесь соблюдается, то, преобразуя рассматриваемую матрицу в обратную

6 13

V 13

мы получаем для каждого данного ценового вектора вектор множителей

71 =

, 72 =

> 73 =

V-13

\13/

V Тз/

Все три ценовых вектора можно изобразить как линейную комбинацию. Однако множители имеют положительный знак лишь для рг-В векторном пространстве pi лежит левее, а рз - правее векторов выплат.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [ 46 ] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]