При этом (Х) обозначают возвратные потоки соответствующей облигации в момент времени t, а р() - рыночную цену этих бумаг. Для нахождения второго уравнения оценки мы используем следующий принцип конструирования эквивалентного портфеля:

Хг=пАХ +7гвХ, (3.5)

Х2=плХ + пвХ (3.6)

при Па (пв), являющимся числовым значением для необходимых финансовых титулов. При условии свободного от арбитража рынка из этого следует, что возвратные потоки инвестиции имеют значения, равные

р{ХиХ2) = ПАР{Х,Х) + пвр{Х, Х). (3.7)

Оба уравнения оценки приводят в точности к тому же результату, если верно

iXi + 2X2 = ПАР{Х, Х) + пвр{Х, Х). Если подставить (3.3) и (3.4) в (3.7) и преобразовать его, то мы получим

p(Xi, Х2) = паЫХ + 1Г2Х) + пв[-п,Х + 22) =

= пА T\Xf + пв т\Хх + Па 2X2 + пв т2Х2 = = 7Гх{паХ + пвХ) + тт2{паХ + пвХ.)

и при учете (3.5) и (3.6)

p(Xi, Л2) = 1x1X1 + 7Г2Х2.

3.2. Теория арбитража в условиях неопределенности

Как в условиях определенности, так и в условиях неопределенности допущение свободы от арбитража на рынке капитала является предпосылкой оценки финансовых титулов и инвестиционных проектов. Поэтому первая задача связана с вопросом о том, выполнено ли такое допущение. После этого мы обсудим способ функционирования методов оценки и следствия их применения.

3.2.1. Эквивалентный портфель и примитивные ценные бумаги

В мире с тремя возможными ситуациями существуют три рыночные ценные бумаги с приведенными в следующей таблице свойствами.

1. Ваше имущество составляет 4761.50 руб. Рассчитайте, какое количество рыночных ценных бумаг должно быть приобретено и/или продано без покрытия для того, чтобы вы получили доходы, зависимые от ситуации, величиной в 3015, 2105 и 3535 руб. Какова величина возвратного потока от ценной бумаги С, если фактически имеет место третья ситуация, а рынок является свободным от арбитража?

Рассчитайте цены примитивных ценных бумаг и проинтерпретируйте их.

1. У нас есть четыре определяемые величины, доли ценных бумаг искомого портфеля и неизвестный возвратный поток х. С помощью данных о рынке и значений имущества нам удастся построить следующую систему уравнений:

15.00ПЛ+ Э.ООпд+ 3.00ЛС = 3015.00, 2.00 Па + 20.00 пв + 7.00 пс = 2105.00, 6.00 пд + 10.00 Пв + а; Пс =3535.00,

14.55 па + 22.25 + 9.60 пс = 4761.50.

Решение системы приводит к долям ценных бумаг

Па = 150, пв = -20 и пс = 315 и к искомому возвратному потоку в сумме х = 9 руб.

3.2.2. Структура портфеля и доходность портфеля

Пусть на рынке капитала существуют две ценные бумаги. Бумага 1 стоит 15 руб. и гарантирует 21 руб. (17 руб.) при вступлении в силу ситуации 1 (ситуации 2). Платежи по бумаге 2, которая стоит 25 руб., равны 20 руб. при вступлении в силу ситуации 1 и 40 руб. при ситуации 2.

1. В каком соотношении вы должны смешать обе бумаги для того, чтобы вы при любой величине имущества Vq могли бы получить гарантированные возвратные потоки? Определите количественное и стоимостное соотношения.

2. Рассчитайте доходность портфеля.

1. Возвратные потоки портфеля являются безрисковыми, когда они в каждой ситуации равны одной и той же величине. Это условие приводит к уравнению

21 П1 + 20п2 = 17 711 + 40 П2.

Если данное уравнение выразить через пь то это позволит получить формулу

771 = 5 112-

2. Цены примитивных ценных бумаг мы определяем из

15 7Г1+ 2 7Г.2+ С7Гз = 14.55, 9 7Г1 + 20 7Г2 + 10 тгз = 22.25, 37Т1+ 77Г2+ 97гз= 9.60

и получаем

7Г1 = 0.75, 7Г2 = 0.6, 7ГЗ = 0.35.

Если мы рассмотрим эти цены более тщательно, то выяснится, что за гарантированный возвратный поток в один рубль мы должны заплатить цену 7Г1 + 7Г2 + 7Гз = 0.75 + 0.6 + 0.35 = 1.70 руб. Следовательно, на этом рынке существует отрицательная ставка процента. Если допущено держание кассы, то создаются возможности арбитража, несмотря на то что рынок является полным. Если мы продаем каждую из трех примитивных ценных бумаг в точности один раз, тогда мы сегодня получим гарантированный доход величиной в 1.70 руб. и одновременно обязуемся заплатить через год один рубль. Для того чтобы мы могли выполнить это обязательство, нам нужно сегодня положишь в кассу лишь один рубль, и благодаря этому удастся достичь арбитражной прибыли в размере 0.70 руб.