Таким образом, формула определения цен примитивных ценных бумаг упрощается и сводится к
1 + Г/
Если мы подставим соответствующие данные, то получим
2.5.3. Цены примитивных ценных бумаг в равновесии
Давайте рассмотрим экономику, имущество которой сегодня составляет 241.88 ден. ед. Участники рынка единодушно предполагают, что имущество в момент времени t = I с вероятностью 20 % (45и 35 %) достигнет 398.15 ден. ед. (181.41 ден. ед. и 304.83 ден. ед.). Совокупное имущество распределяется в соотношении 50 : 30 : 20 между тремя инвесторами. Какую цену заплатили бы инвесторы в равновесии за примитивные ценные бумаги, если бы все они имели функцию полезности
а безрисковая ставка процента была бы равна 5.2С%?
* *
Для отдельного инвестора цена примитивной ценной бумаги определяется по формуле
в равновесии спрос и предложение соответствуют друг другу. Если мы обозначим символом ai долю г-го инвестора в сегодняшнем и будущем благосостоянии экономики, то верно
q.=«.Ei- (2.45)
и соответственно
E[U{Ci)]=2 °
Подстановка (2.45) в (2.44) дает
1 f/(«.ELQ.
тт., = qs
(2.46)
а, встречается в качестве множителя как в числителе, так и в знаменателе и, таким образом, его можно сократить. Коэффициент U{-)/E[U{-)] в этой функции полезности не зависит от инвестора." Для выяснения этого найдем первую производную функции полезности по зависящему от ситуации будущему потреблению:
= 2-
и сконструируем формулу ожидаемой предельной полезности будущего потребления
Очевидно, здесь не только коэффициент {/(•)/Е[{/()], но и числитель, и знаменатель не зависят от индивидуальной доли имущества п. Если мы подставим данные в задачу, то этот результат подтвердится. Для каждого инвестора будут получены показанные в приведенной ниже таблице величины.
| | | |
{/(•) | 1.559 | 2.309 | 1.782 |
Е[{/(.)1 | 1.975 |
Вследствие однородности ожиданий в отношении вероятностей наступления событий все инвесторы выходят на идентичные цены примитивных ценных бумаг
7Г1 =0.20-
1.559
1.0526 1.975
= 0.15,
И логарифмические функции полезности имеют это свойство.
Литература
Тот, кто хочет интенсивно заняться теорией предпочтения ситуаций, должен прочитать: Myers S. С. А time-state-preference model of security valuation Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1968. Vol. 3. P. 1-33. Хорошее описание дают также: Copeland Т. Е., Weston J. F. Financial Theory and Corporate Policy. 3rd ed. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1988.
1 2.309
7Г2 = 0.45----- =0.50,
1.0526 1.975
1 1 yfio
тгз = 0.35----- = 0.30.
1.0526 1.975
Остается констатировать результат: цена, которую репрезентативный инвестор в равновесии готов заплатить за примитивную ценную бумагу, всегда одинакова, независимо от того, владеет ли инвестор 20%, 30, 50 или 100% совокупного имущества экономики. Для определения цен примитивных ценных бумаг с помощью формулы (2.46) нет никакой необходимости в информации о распределении совокупного имущества среди отдельных индивидуумов.