из (2.40) следует
E[U{x)]r-E[U{x)]h >0.
Разница в ожидаемой полезности положительна. Распределение F превосходит распределение Я. 2. Нейтральность к риску предполагает
dU d4J
> о = с и -7-;г = 0.
После подстановки константы с (см. для этого рис. 2.6) в (2.38) получаем
E[U{x)]f - E[U{x)]h = с I (Я(х) - Г{,
х] dx = 0.
Нейтральные к риску индивидуумы безразличны при совершении выбора между F и Н.
3. Расположенность к риску формально описывается через
dU „ dU
lb"-
Таким образом, согласно рис. 2.6 верно:
dU{x) dU(z)
< -при х < г,
dU{x) dU{z)
-7 > при X> Z,
dx dx
и мы можем по аналогии к (2.40) записать
AE[U{x)]<
(я(х)-Р(х)).х-()
F{x) - Я(.7:) dx <
<
dU{z)
- j (H{x) - F(x) dx < 0.
Я при расположенности к риску является однозначно предпочтительным распределением.
2.4.5. Выбор наилучшего инвестиционного проекта
Вы должны принять решение в пользу одного из двух инвестиционных проектов А и В. Прибыль тгд в интервале тг = [0,2.71] распределена в соответствии с функцией плотности /л(7г) = 0.2723тт. тгу в том же интервале имеет функцию плотности /п(7г) = 0.5 тг2 - тг -(- 0.5.
--j- (расположенный к риску)
--jf (нейтральный к риску)
У. (нерасположенный к риску)
.т <
x > z
Рис. 2.6. Функции предельной полезности и отношение к риску
1. В пользу какого проекта вы примете решение?
2. Изобразите функции плотности распределения, распределения и разности распределения графически.
* * *
1. Если функции распределения пересекаются лишь один раз (см. рис. 2.7), то в качестве критерия принятия решения можно применить математическое ожидание прибыли. Если
Е[7Гл] > Е[7Г„1 2.71 2,71
то мы выбираем проект А, а в противном случае - проект В.
Следовательно, для случая А >- В разность математических ожиданий должна быть положительной
Е[7г.4] - Е[тги] > 0.
См.: Wolfstetter Е. Stochastic Dominance: Theory and Applications. Discussion Paper 10 of the Institute for Economic Theory 1. Berlin, 1996.
Для определения математического ожидания прибыли мы имеем в распоряжении альтернативные формулы
2.71
Е[7г] = I тг /(тг) (1тг о
1 2.71
Е[7г] = I F{q)dq = 2.7\- j F{tr)dn. (2.41)
Мы используем разумным образом (2.41) и получаем для разности математических ожиданий выражение
ДЕ[7г]=Е[7гл]Е[7Гв] =
2.71 2.71
= 2.71 "У Fa{tt) dit - (2.71- j Fn(7r)(/7r =
2.71
РвЫ - F,x{tt) dn.
Для рационального выбора между двумя проектами достаточно знания функций распределений Fa и Fu- Интегрирование функции плотности дает
Л(7Г) = I /Л(7Г) dr. = г - +
Для разности математических ожиданий мы получаем
2.71
Е[7Гл)-ЕМ= 1 (тг-тг-ьО.бтг-о
Интегрирование этого выражения даст
0.272.3 Л
Е[7г,4] - Е[7Гв1 =
- 1
- - 0.2121 7Г + - 7г-
24 4
= -0.1370.
Разность отрицательна. На основе стохастического доминирования второго порядка проект В более выгоден, чем проект А.
См. задачу 2.4.2.