Для разности в ожидаемой полезности мы можем записать

U{b) и{Ь)

AE{U{x)]= J U{x)g{U)dU- [ U{x)f{U)dU =

U(a) b

и (a)

= J U{x)gix)dx- J U{x)f{x)dx =

dx dx

(2.33)

Теперь выражение (2.33) интегрируется по частям с помощью формулы

ь , b

jvdzLz] -J

Z dv.

(2.34)

Для этого мы определим

и (х) = V, d.v - -- dx, ox

G{x) - F[x \

и подставим в (2.34)

дСг дР\

dz =

fdG дГ\

дх дх

G{x)-F{x) U{.r.) J

[ f \ dU

J {Gix)-Fix)j-dx,

тогда получим

G{b) - F{b)j U(b) - [G{q) - F{a)j U{a) + J iF{x) - G{x)j - dx. (2.35)

Так как G{b) = F(b) = 1 И G{a) = F{a) = 0, (2.35) упрощается и сводится к

E[Uix)]c - Е[(/(х)!р = I (F{x) - G(x)) dx.

При положительной предельной полезности и при F{x) > G(x) во всем диапазоне изменения х это выражение положительно.

F{x) < H{x) для a < x < z, F{x) = H{x) для x = z, F{x) > H{x) для z < x <b.

Какое из двух распределений вы предпочтете, если вы являетесь

1. Нерасположенным к риску,

2. Нейтральным к риску,

3. Расположенным к риску?

* *

Вновь для принятия решения мы можем использовать критерий

F{x) >- Н{х) Ци{х)]г - Ци{х)]и > 0.

Для общего вывода искомой связи между распределением и ожидаемой полезностью мы сначала определим обратную функцию х = Полный дифференциал этой функции имеет вид

Если выразить данную формулу через dU и подставить х = то это приведет к

Обратная функция х в пределах интегрирования U{a) и f/(/;) имеет значения

x = U-\U{a)) = а, и х = U-\U {Ь)) = Ь. (2.37)

После этой «подготовительной работы» можно легко вывести разность в ожидаемой полезности. При учете (2.36), (2.37) и F(U{x}) - JJ{U{x)) = F(x) - - Я(х) мы получим

2.4.4. Стохастическое доминирование второго порядка

Рассмотрим два распределения F(.t) и Н(х) со свойствами

J F(x) dx - J H{x) dx = 0

AE[U{x)] = E[U{x)]f - E[U{x)]n =

U(b)

U(b)

= U{b)- J F{U)dU-(u{b)- J H(U)dU] =

U(a) U(a)

H{x)-F{x)]dx.

(2.38)

Исходя из формулы (2.38) мы сейчас можем проанализировать, варьируется ли выбор распределения при изменении отношения к риску, и если да, то каким образом.

1. Нерасположенность к риску можно представить через выпуклую вверх функцию полезности U(ж) при

dU d

Как выясняется из рис. 2.6, из (2.39) следуют неравенства

(2.39)

dU{x) dU{

для x < 2,

dU{x) dU{z)

< -для X > 2.

При нерасположенности к риску предпочитается распределение F. Для того чтобы это показать, разделим на первом этапе (2.38) на

АЕ[/7(х)1 =E[t/(x)]/. -Е[-(х)1я =

Я(х) - F(x) ]dx- f (Fix) - Я(х)) dx

и подставим dU{z)/dx. Это приведет к AE[f/(x)]> j {H{x)-F{x)dx-

dU{z

dUjz) dx

{H{x)-F{x))dx.

F(x) - Я(х) ) dx > (2.40)

Так как по предположению

J (Я(х) - F(x) dx = О,