назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [ 33 ] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


33

f{U) = с является константой в интервале [а,Ь] = [0,2], см. рис. 2.5. Вероятность q{U) = РгоЬ([/ < 0) можно записать как

q(U)= J c.dU =

(2.25)

= c- (C7-0) = ctj.

Если мы приравняем С/ = 2, то получим для константы значение с = 1/2. Расчет ожидаемой полезности при использовании с сразу дает

Elf/(x)]= J \udU=i

Л.(1-„,..

(2.26)

Для требуемого доказательства эквивалентности определим полный дифференциал функции распределения q

dq=dU = f{U)dU,

Затем вычислим при (2.25) границы интеграла заново - q = F{2) = 1 и q - F(0) = О и подставим в (2.24)

E[U{x)] = j Udq.

(2.27)

Так как мы сейчас интегрируем над ординатой на рис. 2.5 (выше), т. е. над q, МЫ должны в (2.27) выразить U как функцию от q. Поскольку

q = F{U) = cU = - и,

мы получаем

U = F-\q) = 2q.

После подстановки этого результата в (2.27) получим ожидаемую полезность

Г„2 1 1

" - (2.28)

E[f/(x)] = У 2qdq = 2

,2 1 1

= 2---0 = 1.

(2.26) и (2.28) приводят к тому же результату.

2.4.2. Альтернативные концепции для определения математического ожидания прибыли

Пусть прибыль 7г имеет в интервале [0,2] плотность распределения

/W=-7r.



q = 0.5-

Рис. 2.5. Функция плотности (распределения) и функция распределения

Покажите, что безразлично, с помощью каких из следующих трех подходов рассчитывается ожидаемая прибыль:

(2.29) (2.30) (2.31)

Е[7Г1 = j 7Г/(7Г)(/7Г,

Е[7г]= / F-H4)dq,

Е[тт] = Г{Ь)Ь- j F(7r)dTr.

Сначала мы рассчитаем ожидаемую прибыль через интегрирование по тг:

Е[7г] = / 7г f{n)dn= / 7r-ndn= / ; ТГ" ri/T = -



Определение математического ожидания с помощью интегрирования по q требует известной уже из задачи 2.4.1 «подготовительной работы». Мы определяем функцию распределения q как

ее полный дифференциал как

(2.32)

dq = - dn = /(77)г/7г. 07Г

обратную функцию как

F\q) = 7r=q,

а в конце, определяя еще при помощи (2.32) новые границы интегрирова-

ния.

22 02

5(2) = - = 1 и q{Q) = j=Q.

Подстановка в (2.30) дает

Е[7г]= / {4qfdq = 2 / q"-dq = 2

= 2 ( г • l- -О

\ 4

Третий подход к расчету (2.31) дает из-за F{b) = 1

EfTT

2 j 2 2

- -О =

=2-=1 6 3

Три способа приводят к одному и тому же математическому ожиданию. Их эквивалентность можно было бы доказать и в общем виде.

2.4.3. Стохастическое доминирование первого порядка

Пусть функция полезности U{x) будет дважды непрерывно дифференцируемой. Покажите с помощью интегрирования по частям, что

ДЕ[{/(х)] = E[f/(.r)]c - Е[(;(.7:)]к > О,

если на всем интервале а < х <Ь верно неравенство F{x) > G{x).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [ 33 ] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]