назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


32

Рис. 2.4. Семейство кривых безразличия квадратичной функции полезности

ную цену риска, значит, ту скидку на математическое ожидание, которую инвестор готов принять, если риск полностью уничтожить. Скидка становится тем больше, чем богаче оказывается индивидуум в момент принятия решения. Из этого мы должны сделать вывод, что миллионер готов застраховать себя против данного риска, например потери 10 000 руб., в большей степени, чем индивидуум с маленькой зарплатой, но это представление совершенно неправдоподобно. Вследствие существенной неправдоподобности квадратичных функций полезности решающее значение приобретает другой достаточный критерий для совпадения между критерием ожидаемой полезности и критерием Е[.г]/(7[.7:], а именно предпосылка нормально распределенных результатов.

2.3.3. Кривые безразличия и степень нерасположенности к риску

Вы должны сделать экспертизу относительно инвесторов 1 и 2 с функциями полезности

[/!(Е[з-], Var[ij) = 2 + 4Е[х] - Q.bE[xf - 0.5Var[.?],

C/2(E[i], Var[i]) = 2 + 4E[x] - 0.8Е[.т]2 - 0.8Уаг[.т],



Для определения степени нерасположенности к риску нам необходимо знание наклона кривых безразличия в любой точке (Уаг[.г]. Е[т]). Если кривая безразличия первого инвестора в данной точке круче кривой безразличия второго инвестора, то тогда 1 не расположен к риску в большей степени, чем 2. Полный дифференциал функции полезности

dUiE[.f],V.r[,]) = ЕИ + Var[i-1 = О

приводит к

dE[T] dU/dVar\x]

dVaT[x] dU/dE[x]

Теперь мы проверим этот наклон для любой координаты (Var[.r], Е[.г]). Пусть Var[f] = 1 и Е[.т] = 1 будут этой координатой, тогда для первого инвестора верно

-0.5

а для второго

dE[x] d Var[i]

dE[x] (iVarl.T) ~

4 - 2 0.5 • EI.t)

-0.8

0.5 1 4-1"6•

4 - 2 0.8 E[.r]J 4 - 2 0.8 3

При 1/6 < 1/3 инвестор 2 является нерасположенным к риску в большей степени, чем инвестор 1.

Литература

Тот, кто хочет заняться критерием математического ожидания-дисперсии более глубоко, должен прочитать книгу: Sinn H.-W. OkonomLsche Entscheidungen bei UngewiBheit. Tubingen: J.C.B. Mohr, 1980. В сжатой, но очень четкой форме этот критерий обсуждается и в: Neumann М. Theoretische Volkswirtschaftslehre П1. Miinchen: Vahlen, 1982.

Ваш заказчик надеется на то, что ваша экспертиза информирует его о том, кто из них готов принять на себя больше риска. Как вы поступите, и KaKoii результат вы можете представить вашему заказчику?



2.4.1. Непрерывное распределение и ожидаемая полезность

Пусть полезность U{x) в интервале U = [О, 2] будет равномерно распределена. Покажите, что выражение

У F-iq) dq О

при q = F{U) соответствует ожидаемой полезности E[U{x)].

* * *

Ожидаемая полезность определяется как

U{b) 2

E[U{x)]= J Uf{U)dU = J UfiU)dU (2.24)

U{a) 0

при f{U), являющейся функцией плотности распределения случайной переменной U{x). Так как мы предполагали равномерное распределение, то

" и из-за x является тоже случайной переменной. По соображениям наглядности, несмотря на это, мы откажемся в данной главе от использования тильды.

2.4. Стохастическое доминирование

Стохастическое доминирование является третьей концепцией оценки в условиях неопределенности, которую мы здесь представим. Эта концепция по сравнению с обсуждавшимися в ранних разделах критериями принципа ожидаемой полезности и принципа математического ожидания-дисперсии имеет преимущества, которые нельзя недооценивать. Для определения выгодной инвестиционной альтернативы достаточно знать соответствующие функции распределения негарантированных результатов и отношение к риску инвестора. В обращении к явной функции полезности нет необходимости.

Мы подойдем к используемой концепции - в первую очередь для непрерывных распределений - поэтапно. Вначале мы покажем, что можно изобразить ожидаемую полезность случайной переменной U{x) посредством интегрирования функции, обратной функции распределения." С помощью этого доказательства нам удастся обосновать разницу в ожидаемых полез-ностях двух альтернатив прохождением соответствующих функций распределения. Так как отношение к риску и выбор проекта неотделимо связаны друг с другом, мы займемся подробным анализом всех трех форм отношения к риску. Заканчивается глава рассмотрением конкретных случаев оценки.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]