назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [ 31 ] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


31

Разложение в ряд Тейлора:

, U"{fi) v*!!Mr- via.

+ 31 (3 - m) +-71-(-m) +••••

Использование оператора ожидаемой полезности: здесь необходимо учесть, что математическим ожиданием гарантированной величины всегда является эта же величина. Мы получим

Elt/(i)l = + (/{,.) E[(i - ,.)! + E(.f - +

Первой и второй производной анализируемой здесь квадратичной функции полезности является

U{i) = 2bx, С/" (.с) = 2Ь.

Все производные более высоких порядков являются нулевыми. Таким образом, получается функция ожидаемой полезности

E[U{x.)] = a + bfP + 2bfiE[{x - /О] + 0.5 2bE[{x - ,,)]• (2-22)

Из-за Е[(.т - /г)] = О и /J = Е[.т], а также Е[(.т - /t)] = Уаг[.т] имеет место

E[U{i)] = а + 6 Е[хУ + b Var[.r] = = C/(E[x],Var[i-!),

что доказывает эквивалентность для особого случая квадратичной функции полезности.**

Для линейной функции полезности верно U{x) = Ь. Все производные более высоких порядков являются нулевыми. Если мы учтем это в рамках (2.22), то тогда функция ожидаемой полезности будет выглядеть следующим образом:

E[U{x)]=a + bfi =

= a + b Е[х] = = U(E[x]).

Так как дисперсия не имеет значения для линейной функции полезности, оба принципа и здесь совместимы. 2. Оба принципа, кроме того, совместимы друг с другом, если результаты нормально распределены.

Несмотря на то что установленная эквивалентность верна для всех квадратичных функций полезности, а именно этот вид функции полезности здесь и рассматривается, необходимо учесть, что речь идет о расположенном к риску индивидууме.



Рассмотрим квадратичную функцию полезности в форме"

и = -ах + Ьх при а,Ь > О, (2.23)

При Уаг[з;] = Е[(х - E[ij)2] = Е{х] - Е[.г]2 мы можем ее преобразовать в функцию ожидаемой полезности

e[U{x)] = -aE{i] + bE\i] =

= -а E[i:2] + ЬЕ[х] + а E[if - а E[if = = -а {Е[х] - E[Sf) +ЬЕ[х\ - aE[lf =

Уаг[.т] = (сг[.т])2 = t/(E[.x],a[.r]),

Как легко можно увидеть, (2.23) предполагает, что лицо, принимающее решение, имеет отрицательную предельную полезность при уровне потребления X > Ь/2а. Это не совсем правдоподобно, так как означало бы, что индивидуумы, если они уже достигли определенного уровня потребления, добровольно отказались бы от дальнейших требований на потребительские блага. Эмпирически такой феномен нельзя наблюдать. Может быть, для отдельных потребительских благ существуют границы насыщаемости. Так, например, трудно представить, что семья, состоящая из 5 человек и занимающая лишь 5 комнат, будет покупать более 5 телевизоров. Но существование границы насыщаемости для агрегата требований на потребительские блага, а значит, на имущество, не имеет никакой экономической правдоподобности. Следовательно, квадратичные функции полезности можно использовать лишь тогда, когда делается предположение, что область определения возможных распределений потребительских благ находится в области ненасыщаемости. Для всех исходов х должно быть верным

.т < Ь/2а.

Анализ кривых безразличия в системе Е[х]/сг[.х] указывает на дальнейшую неправдоподобность. На любой кривой безразличия ожидаемая полез-

" Естественно, мы можем анализировать и каждое линейно положительное монотонное преобразование (2.23): U(x) = z + ;/U{x) = z - yax + ybx, причем необходимо соблюдение условия у > 0.

2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность

Обсудите проблематику квадратичной функции полезности в рамках теории ожидаемой полезности.



da[S:] -2aE[.i]+b U

ali:] = ARA-fT[,Tl,

причем ARA является коэффициентом Эрроу-Пратта абсолютной нерасположенности к риску. Семейство кривых безразличия изображено на рис. 2.4. Если мы дифференцируем ARA, то окажется, что квадратичная функция полезности характеризуется возрастающей абсолютной нерасположенностью к риску

dARA 4а dE[3:] ~ (Ь - 2аЕ[,т])2

Значит, лицо, принимающее решение, требует тем более высокую субъективную цену за риск, чем выше его начальный запас. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим рис. 2.4. Для данного значения среднеквадратичного отклонения cr[ij* можно начертить параллель к ординате. Точки пересечения вертикалей с соответствующими кривыми безразличия отражают относящиеся к определенным уровням полезности математические ожидания оцениваемых распределений потребности. Выберем для себя точку А на рис. 2.4. Соответствующий уровню полезности А гарантированный уровень потребления х,, - это точка пересечения кривой безразличия и ординаты. Если сейчас начальный запас и, таким образом, гарантированный уровень потребления будут повышаться (движение вдоль ординаты), то тогда вертикальное расстояние между математическим ожиданием распределения потребительских благ (движение вдоль вертикали) и предоставляющим тот же уровень полезности гарантированным начальным запасом будет становиться все больше. Данное вертикальное расстояние представляет собой субъектив-

Для аргумента под корнем должно быть верным { - Ь/п.у - Ас/а > 0.

ность постоянна. Поэтому функцию ожидаемой полезности можно записать в форме

с = -аф.у ~ aE\lf + ЬЕ\т].

0=-+a[lf+ Е[.г]2--Е[,г]. а а

Данная формула является общей формулой круга с координатой центра

1 /2

и радиусом г = 1/2((-6/а)2 - 4г/я) Наклон кривых безразличия будет рассчитан нами посредством приравнивания полного дифференциала

к нулю. При учете dU/dE\x] = U = -2пЕ[х]+Ь и dU/dE\.if = U" = -2а имеет место

dE\x] -2асг[х] U"

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [ 31 ] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]