назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [ 28 ] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


28

Доля имущества,

вложенная без риска, qi

(в млн руб.)

(в млн руб.)

0,2 + 0.40 = 0.6

0.2-

h 1.6 = 1.8

0.4 + 0,30 = 0.7

0,4-

h 1.2 = 1.6

0.6 + 0.20 = 0.8

0.6-

hO.8 = 1.4

0,8 + 0,10 = 0.9

0.8-

hO.4 = 1.2

Две пары значений из таблицы достаточны для расчета бюджетной линии

Х2 = а + 6.Т1. (2.17)

Если мы, например, выбираем xi = 0.5 и хг = 2, а также Xi = 1 и .хг = 1, то создается система уравнений

2 = 0 + 6-0.5, 1 =о + Ь- 1

с решением о, = 3 и Ь = -2. Следовательно, бюджетной линией является

Х2 = 3 - 2 • Хь

Она на рис. 2.3 является левой непрерывной линией. 2. Вы максимизируете свою функцию ожидаемой полезности при условии, что полностью распределяете свои средства на оба вида договора:

max qU{xi) + {1 - q)U{x2) при дополнительных условиях l=Qi+a2. Эта проблема разрешается с помощью функции Лагранжа

С = qU{x,) + (1 - q)U{x2) + к{1 - Qi - Q2).

Необходимым условием первого порядка является

- к = О,

=qUixx)Ul-qm.

да, " day

=qU{x,) + {l-q)U{x2)

да2 дЬ дк

= 1 - Ql - Q2 = 0.

dai дх2 дао

- к = О,

(2.18) (2.19)

Формулы (2.18) и (2.19) можно из-за

5x1 dxi дх2 дх2

= Voz, - = Wo zl и -,= Wo z, - = И о zh

day да2 да, да2

обобщить, приведя к виду

q f/(xi) 2 + (1 - (?) f/(x2) z = qUixr)zl + (1 " ?) U{X2) zh ,



и, наконец, превратить в условие оптимальности

qU{xi) Z-ZH 1-2

= 2.

(l-g)f/(.r2) Zb~z 0.5-1, При q = 0.6 И U{.t) = 0.5 х-- (2.20) превращается в

0.6 • 0.5 • х~- = 2 0.4 0.5 •

(2.20)

= 0.2877+ :С1

1.59 1.9041

Рис. 2.3. Постоянная абсолютная и относительная нерасположенность к риску

Следовательно, на рис. 2.3 все точки оптимума находятся на пунктирной линии

Х2 = 1.78 a-i.

Для нахождения оптимальных комбинаций сегодняшней стоимости, принадлежащих имуществу в сумме 1 млн руб., мы должны рассчитать точки касания кривой безразличия /7] и бюджетной линии. Так как линией экспансии является геометрическое место всех точек касания, искомую комбинацию сегодняшних стоимостей мы получим через приравнивание

Х2 = 1.78 XI при Х2=3-2-Х1.

Оптимальная сегодняшняя стоимость выплаты при преждевременном расторжении договора составляет xi = 0.794, а при полном сроке дей-



ствия она имеет величину Х2 = 1.41. Для определения безрисково вложенной доли имущества «ь максимизирующей полезность, мы подставим полученные только что значения при учете, что ог = 1 - Qi, в (2.15)

0.794 = 01 • 1 + (1 -ai)0.5

и получим, таким образом, а\ = 0.59." Сейчас мы должны вспомнить, что нашими единицами расчета являются миллионы рублей. Значит, надежно вложенная абсолютная сумма составляет 590000 руб. А в рискованный контракт 1 вы инвестируете 410 000 руб. 3. Теперь ваши средства увеличились до 2 млн руб. В следующей таблице приведены возможности выбора из потенциальных комбинаций сегодняшних стоимостей.

Доля имущества,

вложенная без риска а\

(в млн руб.)

(в млн руб.)

0.5 • 2 =

2 2 =

(0.2 + 0.40) • 2 =

(0.2+ 1.6) 2 =

(0.4 + 0.30) - 2 =

(0,4 +1.2)-2 =

(0.6 + 0.20) - 2 =

(0.6 + 0.8) 2 =

(0.8 + 0.10) - 2 =

(0,8 + 0,4) 2 =

1 - 2 =

1 2 =

С помощью этих чисел мы рассчитаем новую бюджетную линию

Ж2 = 6 - 2X1,

Это совместно с условием оптимума (2.20) дает новые значения, максимизирующие полезность ,1 = 1,59 и хг = 2.82. Подстановка в (2.15)

1.59 = ai • 1 • 2 + (1 -ai)0.5. 2

приведет опять к ai = 0.59. Очевидно, что инвестированная в надежный контракт доля имущества из-за большего богатства не изменилась. Однако сейчас как надежный, так и рискованный контракт содержат больше средств. Надежно вложены 1.18 = 0.59 2 млн руб., рискованно инвестированы 0.82 = 0.41 • 2 млн руб. Вы имеете постоянную относительную нерасположенность к риску (доля имущества, вложенная с риском, не зависит от величины имущества) и убывающую абсолютную нерасположенность к риску (абсолютная сумма, вложенная с риском, после заключения брака повысилась с 410000 до 820000 руб.). 4. Приведенное только что утверждение отражается в обоих показателях ARA и RRA, а также в их производных

ARA =

0.25х

-1.5

0.5 X

-0.5

= 0.5х-

Тот же результат для ai мы получим, если подставим эти значения в (2.16).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [ 28 ] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]