ARA = -
2.2.4. Избранные правила преобразования
Предположим, что U{.r) > О и .? > 0. Как изменяется коэффициент Эрроу-Пратта, измеряющий отношение к риску, если функция полезности U{:r) = 10 + х- преобразуется согласно следующим правилам?
1. F{U{x)) =20+{U(x))\
2. F{U{x)) = U)+{U(x)f\
3. F{U{x)) = 100 + 2000 t/(.7-).
Задача решается в два этапа. Сначала мы определяем коэффициент Эрроу- Пратта для исходной функции U[х)
После этого вычислим величину риска преобразованных функций и сравним все результаты с величинами эталона (2.14).
1. Для функции
F{i) = F{U{±)) = 20 + (10 + lf
мы получаем при
= 10.т""" + 1
F,..,. = -5J:-
показатель риска, равный
5;г-- 1
АКА =
10.?-о+1 2.7- + 0.2.?-5
Абсолютная нерасположенность к риску стала меньше, и относительная нерасположенность к риску из-за RRA = .iARA тоже уменьшилась.
так что лишь для этого вида преобразования верно
F,.r и,.
0.25 (f/(x))
-0.5 . x
-0.5
0.25 0.25 J
~ и(х,)х"- ~2i 10i"-5 + .r 2i
ARA и RRA благодаря преобразованию увеличились. 3. Функция
F(f/(.T)) = 100+ 2000 (10 +0.5.т°-) имеет с производными
Fr, = 2000 и.-, = 2000 0.5i-"-\ = 2000 f/,.,. = 1000 • (-0.5) i--
коэффициент Эрроу-Пратта
F„ -500 х"!" ~ 1000х-"-" ~ 2.x
Абсолютная и относительная нерасположенность к риску не затронуты преобразованием.
2.2.5. Распределение имущества на надежные и рисковые вложения
Благодаря прибыльному бизнесу в России вам удалось накопить 1 млн руб., которые вам хочется использовать для постройки дома. Предварительный договор со строительной компанией предусматривает оплату строительства сразу после передачи ключа. Однако компания настаивает на варьирующем сроке завершения строительства. При плохой конъюнктуре строительной отрасли она хочет передать ключ через один год, а при полной загруженности другими заказами - через два года. По прогнозу ведущих институтов прогнозирования экономики в строительной отрасли с вероятностью q = 0.6 наступит спад. Вы хотите вложить свои финансовые средства до возможного срока платежа. На рынке предлагаются договоры лишь двух видов. Первый контракт предполагает срок, равный двум годам, и возвратный платеж в объеме 1.42 руб. на каждый вложенный рубль. При преждевременном расторжении договора через один год выплачиваются, однако, лишь 0.55 руб. Во втором контракте вам предлагается на каждый вложенный рубль 1.10 руб. через один год, и 1.21 руб. - через два года.
1. Исходите из того, что вы комбинируете предложенные договора. Ставка процента 7- = 0.1. Составьте таблицу, которая отражает безрисково вложенные части имущества, а также сегодняшние стоимости, если выплаты происходят либо в t = 1, либо в t = 2. Выведите из имеющихся значений общее бюджетное уравнение.
2. Расчет коэффициента Эрроу-Пратта дает
0.252 (f/(J:))~.x-! +0.125 (f/(3-:))~"x-i ARA =- -
1. Сначала мы рассмотрим сегодняшние стоимости возвратных платежей. Если вы подпишите договор 1, то каждый инвестированный рубль будет иметь сегодняшнюю стоимость 2/, = = РУб., если из-за более короткого срока строительства вам придется преждевременно расторгнуть договор денежного вложения. Но если вы сможете подождать до истечения срока действия в два года, то сегодняшняя стоимость инвестированного рубля составит zh = fj = 2 РУб. Поэтому этот контракт является рисковым. Второй контракт гарантирует вам для каждого срока выплаты одинаковые сегодняшние стоимости 2i = --J- = 1 = 2H 22 = = 1=2. Теперь мы сложим оба вида договора и рассчитаем для ситуации 1 (преждевременный возвратный платеж) и ситуации 2 (полный срок действия) соответствующие сегодняшние стоимости. Пусть «1 будет долей имущества, которая будет инвестирована при заключении надежного контракта, тогда распределение начального имущества можно записать следующим образом
Wq = п1 Wo + Q2 Ио
при Qi +«2 = 1. Сегодняшняя стоимость выплаты в ситуации 1 обозначается XI, & в ситуации 2 - Х2- Оба значения можно определить через формулы
xi=aiWoz + a2WoZ[, (2.15)
Х2 = «1 Ilo 2 + Q2 Ио 2Ц. (2.16)
Следующая таблица приводит некоторые зависящие от ситуации сегодняшние стоимости в зависимости от пу.
Цена за надежный контракт, так же как и цена за рисковый договор, принимается равной 1.
2. Какую абсолютную сумму вы вложите с риском и какую - надежно, если сама функция полезности имеет вид U{.r) =
3. Какую абсолютную и какую относительную сумму вы вложите с риском, если ваше имущество благодаря выгодному браку увеличится еще на 1 млн?
4. Как велика ваша абсолютная и ваша относительная нерасположенность к риску?
5. Чему равны абсолютные суммы объема рискованного и надежного вложения до и после заключения вами брака, если ваша функция полезности из-за экзогенного шока стала иметь вид f.{.f) = -е~-?
Навигация
