назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [ 26 ] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


26

2.2.2. Функция полезности с варьирующим отношением к риску

Ваша функция полезности выглядит следующим образом:

и(х) = х при 7 > 0.

1. Рассчитайте абсолютную и относительную нерасположенности к риску и прокомментируйте эти показатели.

2. Как изменятся оба показателя, если ваше имущество увеличится?

Что означает этот результат? Вспомним, что Максим является расположенным к риску лицом. В его случае можно говорить не об абсолютной и относительной нерасположенности к риску, а об абсолютной и относительной расположенности к риску. Благодаря (2.С) сумма, которую Максим с риском вложит, не изменится при возрастании имущества, т. е. он имеет постоянную абсолютную расположенность к риску. Но это предполагает убывающую относительную расположенность к риску.

Функция полезности Игоря является менее сложной, чем функция Максима. При

- =2>0 и -г=0 dx dx-

мы можем идентифицировать Игоря как нейтральное к риску лицо. Так как вторая производная функции полезности равна нулю, показатели ARA и RRA, а также их производные принимают нулевые значения, которые делают интерпретацию невозможной. 2. Функция полезности Максима выпукла вниз. Этот вид функций обладает тем свойством, что линейная комбинация двух значений функции L(.xi) и U{x2) при XI < X < хо по меньшей мере так же велика (или больше), как (чем) значения функции U(x). Поэтому их можно охарактеризовать следующим образом:

Af/(xi) + (1 - А) t7(.T2) > U{xi <х< .7-2) >

>t/(A.T, +(1 - А):г2) (2.8)

при о < X < 1. Сейчас мы предположим, что Х[ реализуется с вероятностью q, а хп - с вероятностью I - q, и заменим в формуле (2.8) А на д. Это даст нам

qU{xi) + (1 - q) U(X2) > U{qx, + (1 - q)x2). E[U{x.)]>UiE[x]).



Далее мы получаем

RRA=-.i" ." (2.10)

(7-1)x7-2 i 7x1-

Лишь ARA зависит от имущества. Относительная нерасположенность к риску RRA является постоянной. Кроме того, мы можем констатировать, что функция полезности при 7=1 описывает нейтральность к риску, при О < 7 < 1 - нерасположенность к риску, а при 7 > 1 - расположенность к риску. 2. При увеличении имущества ARA изменяется в соответствии с

(JARA 7 - 1

dx " i2 •

Это выражение является отрицательным для О < 7 < 1 и положительным для 7 > 1. Если мы предположим первый случай (второй случай), то тогда абсолютная нерасположенность (расположенность) к риску с возрастанием имущества уменьшится. При увеличении богатства инвестор будет вкладывать с риском все большую (меньшую) сумму. Так как

f/RRA

то не изменяется относительная доля рискованного вложения. Структура портфеля не зависит от благосостояния инвестора.

2.2.3. Положительное линейное преобразование и отношение к риску

Покажите в общем, что свойства функции полезности U{x), касающиеся отношения к риску лица, принимающего решение, сохраняются лишь при положительном линейном преобразовании.

1. Первой и второй производными функции полезности по .г являются



= Fuu (U.f + Fu и,.

мы получим для объема риска

Fuu jUf FyU,, Fx Fu и,. Fu и,

Fuu jU.f U.. Fu

Это выражение лишь тогда соответствует -U/U, когда первый член в правой части приравнивается к нулю. Благодаря тому что > Q для всех видов отношения к риску и F[/ > О, в соответствии с условием (2.11) это требует того, что

Fuu = 0 и, следовательно, Fu = а. (2.13)

Свойство (2.13) характеризует положительное монотонное линейное преобразование

F{U{x)) =Ь + аU{x) при любом 6,

t/x (t/ii) является первой (второй) производной функции полезности U, Fx {Fxx) первой (второй) производной функции F по х. Fu и Fuu образуются через соответствующие производные F по U.

Пусть U{x) будет любой функцией полезности со следующими свойствами:

Нерасположенность к риску: > О, Uj.,. < 0.

Расположенность к риску: Uj. > О, U > 0.

Нейтральность к риску: > О, U-c = 0.

Пусть F(U{x)) будет любым положительным монотонным преобразованием

F = F{U{S;)) с F!j>0. (2.11)

Формула, данная через U{x), представляет отношение к риску, не варьирующееся по отношению к положительному монотонному преобразованию, если сохраняется абсолютная и относительная нерасположенность к риску. Необходимым и достаточным условием для этого является постоянство коэффициента Эрроу-Пратта

ARA = - = -. (2.12)

Давайте рассмотрим преобразованную функцию полезности F(x) = F(U{x)) и рассчитаем первую и вторую производные. При

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [ 26 ] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]