Таблица 2.8. Отношение к риску и функция полезности

1. с помощью функции полезности U{t) определяется как значение начального запаса, так и значение будущих негарантированных денежных потоков. Значит, если мы введем для оценки негарантированных результатов некую функцию полезности, то тогда нам следует использовать в точности ту же функцию для оценки имущества. Абсолютная нерасположенность к риску, в общем, определяется через формулу

ARA = -

dU/dx

(2.5)

Так как мы всегда исходим из того, что для всех индивидуумов, а значит, и для ваших друзей, возрастание дохода приводит к извлечению дополнительной полезности, то первая производная каждой экономически правдоподобной функции полезности положительна. Таким образом, для оценки отношения к риску решающее значение имеет знак второй производной. При этом верны приведенные в табл. 2.8 связи. Следовательно, для того чтобы суметь оценить отношение к риску ваших друзей, вы должны знать первую и вторую производные соответствующих функций полезности. Для соответствующих производных функции полезности Вероники мы получим

= 4000 - 0.004 .т > О и 4- = -0.004 < О,

В дальнейшем мы откажемся от замены переменной х переменной имущества \\\). Но хотелось бы напомнить, что для абсолютной нерасположенности к риску можно записать также

ARA= --

dU I dWn

Аналогичное верно и для относительной" нерасположенности.

Таблица 2.9. Абсолютная нерасположенность к риску при возрастающем

так что сразу же можно определить Веронику как нерасположенную к риску.!

С помощью числовых значений ARA и RRA мы хотели бы более подробно проанализировать отношение Вероники к риску. Абсолютная нерасположенность к риску, согласно этим расчетам, оказывается равной

rf2 U/dx -0.004

ARA = -

dU/dx

4000- 0.004 .f

Из умножения ARA на x получаем относительную нерасположенность к риску

-0.00 1.Т

dU/dx RRA = -X • -гттт-dV /dx

4000 - 0.004.7:

Если имущество увеличивается, то применительно к абсолютной нерасположенности к риску можно различать три альтернативы, см. табл. 2.9. И для относительной нерасположенности к риску при изменении имущества существуют три возможности, детали которых мы можем для себя легко выяснить, взглянув на табл. 2.9. Все представленные там эффекты верны соответственно, если заменить dARA/dx dRRA/dx и «абсолютную сумму» на «долю имущества». Как изменятся числовые значения Вероники, если увеличивается имущество? Для ответа на этот вопрос мы должны взять производную

dARA (0.004/(4000- 0.004 .г))

-0.004

(4000-0.004 х)2

(-0.004) > О

и правильно проинтерпретировать положительный знак. Предпочтения Вероники характеризуются возрастающей абсолютной нерасполо-

Мы должны, однако, ограничить диапазон определения интервалом О < х < < 1 млн руб., так как функция полезности Вероники лишь здесь характеризуется положительной предельной полезностью.

(4000-0.004 £-)2

> 0.

Теперь давайте обратимся к анализу предпочтений Максима. Если дважды продифференцировать его функцию полезности

-- = e- > о и --- = > О, dx dx-

то это даст нам уверенность в том, что Максим является расположенным к риску человеком. Для показателя ARA и ее первой производной получаем

dU/dx rfARA ,

ARA=--- = -г = -1 и ---=0. 2.6

dU/dx е- dx

При проверке показателя RRA и ее первой производной для Максима мы определяем

- dU/dx , RRA

женностью к риску. С возрастанием имущества ее рискованно вложенная денежная сумма сокращается. Если же абсолютная сумма сокращается, то это автоматически приводит к тому, что уменьшается и относительная доля рискованно вложенных денег с ростом имущества. Тот, кто в этом выводе сомневается, пусть выяснит для себя это на следующем примере. Вероника владеет в исходной ситуации 150 000 руб., из которых 100 000 руб. инвестированы без риска, а 50 000 руб. - рискованно. Доля с риском вложенных денег составит тогда 1/3. Из-за своей возрастающей нерасположенности к риску Вероника - если ее имущество повышается до 200000 руб. - будет вкладывать с риском меньше 50 000 руб., например лишь 40 000 руб. Доля рискованно вложенной суммы сократится, таким образом, на 20 %. Даже если Вероника и при большем имуществе 50 000 руб. инвестировала бы рискованно (постоянная абсолютная нерасположенность к риску), доля рискованно инвестированного имущества снизилась бы до 50 000/200 000 = 1/4. Следовательно, мы можем с уверенностью утверждать, что возрастающая, точно так же как и постоянная, абсолютная нерасположенность к риску, обязательно предполагает возрастающую относительную нерасположенность к риску. Значит, для Вероники мы должны ожидать, что производная ARA по х будет иметь положительный знак

ЖКА с/(0.004 ж/(4000 - 0.004.1-))

dx d х

0.004 (4000 - 0.004 i-) - 0.0041- (-0.004) (4000- 0.004 .?)2