назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


14

1.2.3. Кардиналистская функция полезности

Является ли функция полезности из 1.2.2 кардиналистской?

Для того чтобы мы могли говорить о кардиналистской функции полезности, должно быть верно

Ui[z,, Z2 : qA - q]) = qU{z,) + {I - q)Uiz2).

Для проверки данного свойства у этой особой функции полезности рассмотрим случай x ~ 21 X 22 X x. Из аксиомы независимости верно [21, 22 : д, 1 - - <j] ~ (х, 22 : q,l - q]- Из аксиомы непрерывности должно существовать <?2 при О < 92 < 1, так что 22 ~ [х,х : (72,1 - «72]• Новое использование аксиомы независимости дает после преобразования

[21,22 : 9,1 - 9] ~ [х,х : q + {I - q)q2, I - {q + {I ~ 9)92)]-

Из определения функции полезности следует

U{[x,x: q+{l~ q)q2, 1 - (g + (1 - q)q2)]) = (? + (1 - <?)<?2). (1-36)

Мы называем функцию ординалистской, если верно

Z2U{zi)>U{z2), (1.35)

2i ~ 22 <= U{Zl) = U(Z2).

Мы концентрируем внимание на (1.35) и проверяем лишь условие необходимости. При этом мы предполагаем, что zi >~ Z2, и должны различать далее четыре ситуации.

1. x ~ 21 X 22 X х: при предполагаемой здесь функции полезности тогда верно (2i) = 1 и U{z2) = 9. Из-за I > q следует U{zi) > [/(22)-

2. x ~ 21 v 22 ~ х: здесь мы получаем U{zi) = 1 и U{z2) = О и благодаря этому U{zi) > и(22).

3. x 21 X 22 ~ х: в этом случае функция полезности равна U{zi) = и U[z2) = 0. Так как q положительна, следует U{z\) > U(z2).

4. x 21 22 х: в этом случае мы имеем U(zi) = и U(22) = f?! и должны показать, что из наших предположений вытекает соотношение g > > (jf- Из определения функции полезности вытекает q = U{x.x: qi,l -- qi) и = U{x,x : g2i 1 - 92)- Так как 2i x 22, должно быть верно (x,x : qi,l - qi) >~ (x,x : 92,1 - 92)- Ho это из аксиомы доминирования приводит к (ji > (j2 и впоследствии к > (jf- Таким образом, доказывается, что наша функция полезности является ординалистской.



Литература

Гюнтер Бамберг и Адольф Кённенберг [Bamberg G., Coenenberg А. G. Betriebs-wirtschaftliche Entscheidungslehre. 9. Aufl. Miinchen: Vahlen, 1996), a также Гельмут Лаукс [Laux Н. Entscheidungstheorie. 4. Aufl. Berlin: Springer, 1998) объясняют в коротких разделах понятие лексиграфической структуры. Конкретные примеры приведены у Ганса-Вернера Зинна {Sinn H.-W. Okonomische Entscheidungen bei UngewiBheit. Tubingen: J.C.B. Mohr, 1980). Доказательства существования ординалистских и кардиналистских функций полезности заинтересованный читатель может найти у Роберта Йерроу (Jarrow R. А. Finance Theory. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1988).

Так как по предположению верно U{zi) = I п U{z2) = д, должно быть верно

U{[zx,z2 : g, 1 - g]) = gUiz,) + (1 - g)U{z2) = g + {I - g)gl (1.37)

Так как (1.36) и (1.37) не совпадают, обсуждаемая функция полезности не является кардиналистской.



1.3.1. Спотовые и форвардные ставки процента

На рынке капитала обращаются одна бескупонная облигация и две купонные облигации. Срок погашения облигации с нулевым купоном номинальной стоимостью в 1000 тыс. руб. равен одному году; она котируется сегодня по цене 921.Об руб. Форвардная ставка процента для вложений на период от i = 1 до t = 3 составляет 13.79%. Первая облигация имеет купон, равный 8 %, остаточный срок погашения, равный 3 годам, и цену, равную 90.86 руб. О второй купонной облигации известно лишь то, что ее остаточный срок погашения составляет 2 года и она котируется по цене 108.87 руб.

1. Чему равен купон второй облигации?

2. Какие формы структуры ставки процента вам знакомы, и какая имеет место здесь?

3. Составьте таблицу со всеми здесь существующими енотовыми и форвардными ставками процента.

4. Вы заключаете в момент времени t = О форвардный кредитный контракт, в котором обязуетесь в t = 2 произвести возвратный платеж величиной в 306 680 руб. Какова величина суммы кредита, которую вы получаете в t = 1, если вами предполагается неизменность ставок процента?

* *

1. Для определения величины купона необходимо, чтобы были известны спотовые ставки процента (spot rates) для одногодичных и двухгодич-

1.3. Многократные гарантированные платежи

После того как мы обсудили обоснованное теорией полезности понятие сегодняшней стоимости, заложен фундамент для использования этого понятия также при изучении многопериодных гарантированных платежей. Расширение обсуждаемых видов кредитных сделок до многопериодных спотовых, а также до одно- и многопериодных форвардных сделок приводит к тому, что кредитные контракты уже нельзя охарактеризовать суммой возврата и одной-единственной спотовой ставкой процента. Цена (сегодняшняя стоимость) в этом случае зависит от того, когда должна быть выплачена сумма кредита и какие существуют периодичные спотовые и форвардные ставки процента. Поэтому следующие задачи связаны с анализом

• структуры спотовых и форвардных ставок процента на рынке капитала, свободного от арбитража, и

• цен (сегодняшних стоимостей) многопериодных финансовых титулов и реальных инвестиций.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]