Как видно из табл. 10.1, минимальные затраты получены при п = пущ = 5 контролерам-кассирам.
Определяя характеристики обслуживания расчетного центра при пппт =5 получили: Р =0,091;Z =0,198;Г1 = 0,146(a/ww) ; =2,90; Г =2,1 5(wh); = 2,7; 3 =0,54. Из приведенных расчетов видно, что при п = 5 по сравнению с п = 3 существенно уменьшились вероятность возникновения Р, длина очереди L и среднее время пребывания в очереди Т и, соответственно, среднее число покупателей Lucm и среднее время нахождения в центре расчета Тист также доля занятых обслуживанием контролеров . Но среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров к и абсолютная пропускная способность расчетного центра не изменились. 2. Вероятность того, что в очереди будет не более 3-х покупателей, определяется следующим образом:
?(г < 3) = /?1 + /?2 + РЗ + ft + ft + ft+l + ft+2 + ft+3 =
= 1 - 04 + ft+1 + ft+2 + ft4-3»
где каждое слагаемое найдем по формулам (10.50)-(10.53). При этом получим при п = 5
Р(г<3) = \-----0,065 + • 0,065 + . 0,065 +
5!(5-2,3)5-5!55!
+•0,065 = 0,986. 55!
Пример. На железнодорожной станции касса с двумя окошками продает билеты в два пункта А и Б. Интенсивность потока пассажиров, желающих купить билеты для обоих пунктов, одинаковы =Я =0,45
(пассажиров в минуту). На обслуживание пассажиров кассир в среднем тратит 2 мин.
При этом могут быть два варианта продажи билетов: в первом случае билеты продаются в каждом окошке и в пункт , и в пункт Б; во втором случае билеты в окошке продают только в пункт А, а во втором только в пункт Б, Необходимо:
1) сравнить два варианта продажи по основным характеристикам обслуживания;
2) определить, как надо изменить среднее время обслуживания одного пассажира, чтобы по второму варианту продажи билетов пассажиры затрачивали на приобретение билетов времени в среднем меньше, чем по первому варианту. Решение.
1. По первому варианту имеем 2-канальную СМО, на которую поступает поток заявок интенсивности Я = 0,45+ 0,45 = 0,90, интенсивность потока обслуживания = 1/2;/7 = Я 7 = 1,8. Так как
ность простоя двух кассиров по (10.50):
~ = 1,8/2 = 0,9 <1, то предельные вероятности существуют. Вероят-п
Р0 =
1,83
= 0,0526;
1! 2! 2!(2-1,8) среднее число пассажиров в очереди по (10.55):
= 1,8 / 2.2 !(1 -1,8 / 2) • 0,0526 = 7,67; среднее число пассажиров у кассы по (10.56):
=7,67 + 1,8 = 9,47;
среднее время на ожидание в очереди и покупку билетов равно соответственно по формулам (10.47) и (10.46)):
Г =7,67/0,9 = 8,52(л<«н)и Г = 9,47/0,9 = 10,5(л<«я).
По второму варианту имеем две одноканальные СМО (два специализированных окошка); на каждую поступает поток заявок с интенсивностью Я = 0,45. По прежнему = 0,5;/7 = Я 7 = 0,9<1, предельные вероятности существуют. По формулам (10.45), (10.41), (10.47), (10.46) получим:
Z, =0,9/(1-0,9) = 8,1; Z,, =0,9(1-0,9) = 9,0; = 8,1 / о, 45 = 18,0(л/«н); Тист = 9,0 / 0,45 = 20,0(л/«н).
Таким образом, по второму варианту увеличились и длина очереди, и среднее время ожидания в ней в целом на покупку билетов. Такое различие объясняется тем, что в первом варианте (двухканальная СМО) меньше средняя доля времени, которую простаивает каждый из двух кассиров: если он не занят обслуживанием пассажира, покупающего билет в
пункт А, он может заняться обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт Б, и наоборот. Во втором варианте такой взаимозаменяемости нет. Можно заметить, что среднее время на покупку билета по второму варианту увеличилось более чем в 2 раза. Такое значительное увеличение связано с тем, что система массового обслуживания работает на пределе своих возможностей (р = 0,9), т.е. достаточно незначительно
увеличить среднее время обслуживания t, т.е. уменьшить /л,\\ р станет больше 1, т.е. очередь начнет неограниченно расти. 2. Ранее мы получили, что по первому варианту продажи билетов при среднем времени обслуживания одного пассажира 76 = 2(мии) среднее время на покупку билетов составит Тист =10.5. По условию для второго варианта продажи Гз сист или с учетом (10.41) и (10.46):
Полагая, что р = - = Я/!, получили -об j откуда найдем
-сисгпл10,5,,
об <.или <= Wmuh) .
1 +1 + 0,45-10,5
Таким образом, средние затраты времени на покупку билетов по второму варианту продажи уменьшается, если среднее время обслуживания одного пассажира уменьшится более чем на 0,17 мин, или более чем на 8,5%.
СМО с ограниченной очередью. Эти системы отличаются от рассмотренных лишь тем, что число заявок в очереди ограниченно, т.е. не может превосходить некоторого числа т . Если в очередь поступает т +1 заявка, она покидает систему необслуженной, т.е. получает отказ.
Дня вычисления предельных вероятностей состояний и показателей эффективности таких СМО может быть использован уже показанный подход. Разница будет заключаться в том, что суммировать надо не бесконечную прогрессию, а конечную. Соответствующие формулы рассмотрим в табл. 9.2,9.3.
Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе, как и ранее, определим по формулам Литтла (10.49), (10.48).
В условиях задачи о разгрузке судов определим показатели эффективности работы причала. Известно, что приходящее судно покидает причал (без разгрузки), если в очередь на разгрузку стоит более 3-х судов. 288