как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. Когда число заявок в системе больше п, интенсивность потока обслуживания сохраняется равной nju.
Рис. 10.8
Можно доказать, что если отношение pjn < 1, предельные вероятности существуют. В том случае, когда р1п>\, очередь неограниченно растет.
Используя формулы (10.21), (10.22) для процесса размножения и гибели, получим формулы для предельных вероятностей состояний п-канальной СМО с неограниченной очередью
Р0 =
1 + -+ - + ••• + -+ -
1! 2!п\ п\{п-р)
Р""р
Рп\ =-:Ро"Рп+г =--Ро-
Вероятность того, что заявка окажется в очереди
(п-р)п\
(10.50)
(10.51) (10.52)
(10.53)
Для п-канальной СМО с неограниченной очередью, используя прежние приемы, можно найти: среднее число занятых каналов
к = - = р, Р
(10.54) 283
среднее число заявок в очереди
среднее число заявок в системе
Lcucm =L, р.(10.56)
Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе вычисляются по формулам Литтла (10.47) и (10.48).
Отметим, что для систем с неограниченной очередью при р < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Pqj = О, относительная пропускная способность g = 1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. = Я .
Пример. В супермаркете к расчетному центру поступает поток покупателей с интенсивностью Я = 81 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя равно = 2 мин.
Определить:
1)минимальное количество контролеров-кассиров п[ при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при п = п\;
2)оптимальное количествоконтролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат С,„, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как С =-« + 371, будет минималь-
на, и сравнить характеристики обслуживания при « = «niin "
3)вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей. Решение. 1. По условию Я = 81(1/ч) = 81/60 = 1,35(1/л<м«). По формуле (10.29) р = Я = Я75 = 1,35 • 2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии, что р/п<1, т.е. при« > р = 2,7 . Таким образом, минимальное количество кассиров п[ = 3 .
Найдем характеристики обслуживания СМО при « = 3. Вероятность того,что в центре расчета будет очередь по (10.53): =(2,7/3!(3-2,7))-0,025 = 0,735; среднее число покупателей, находящихся в очереди по (10.55): = (2,7 / 3 • 3 !(1 - 2,7 / 3)) • 0,025 = 7,35; среднее время ожидания в очереди по (10.47):
Г =7,35/1,35 = 5,44 Л1«я; среднее число покупателей в узле расчета по (10.56):
"сист
= 7,35 + 2,7 = 10,05;
среднее время нахождения покупателей в центре расчета по (10.46):
сист
= 10,05/1,35 = 7,44 мин\
среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, по (10.54) равно 2,7;
коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров:
= р/« = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютная пропускная способность узла расчета А = \,Ъ5{\1 мин) или 81(1/час), т.е. 81 покупатель в час.
Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров. 1. Относительная величина затрат при « = 3
Сот«=« + ЗГ, =3/1,35 + 3-5,44 = 18,54.
Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях п.
Таблица. 10.1
Характеристика обслуживания | Число контролеров-кассиров |
| | | | |
Вероятность простоя контролеров-кассиров | 0,025 | 0,057 | 0,065 | 0,067 | 0,067 |
Среднее число покупателей в очереди т | 5,44 | 0,60 | 0,15 | 0,03 | 0,01 |
Относительная величина затрат Соти | 18,54 | 4,77 | 4,14 | 4,53 | 5,22 |