назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [ 92 ] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


92

как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. Когда число заявок в системе больше п, интенсивность потока обслуживания сохраняется равной nju.

Я Я

Зи ки

Sn+\

-►

.4

л-

->n+r

Рис. 10.8

Можно доказать, что если отношение pjn < 1, предельные вероятности существуют. В том случае, когда р1п>\, очередь неограниченно растет.

Используя формулы (10.21), (10.22) для процесса размножения и гибели, получим формулы для предельных вероятностей состояний п-канальной СМО с неограниченной очередью

Р0 =

1 + -+ - + ••• + -+ -

1! 2!п\ п\{п-р)

Р""р

Рп\ =-:Ро"Рп+г =--Ро-

Вероятность того, что заявка окажется в очереди

(п-р)п\

(10.50)

(10.51) (10.52)

(10.53)

Для п-канальной СМО с неограниченной очередью, используя прежние приемы, можно найти: среднее число занятых каналов

к = - = р, Р

(10.54) 283



среднее число заявок в очереди

среднее число заявок в системе

Lcucm =L, р.(10.56)

Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе вычисляются по формулам Литтла (10.47) и (10.48).

Отметим, что для систем с неограниченной очередью при р < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Pqj = О, относительная пропускная способность g = 1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. = Я .

Пример. В супермаркете к расчетному центру поступает поток покупателей с интенсивностью Я = 81 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя равно = 2 мин.

Определить:

1)минимальное количество контролеров-кассиров п[ при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при п = п\;

2)оптимальное количествоконтролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат С,„, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как С =-« + 371, будет минималь-

на, и сравнить характеристики обслуживания при « = «niin "

3)вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей. Решение. 1. По условию Я = 81(1/ч) = 81/60 = 1,35(1/л<м«). По формуле (10.29) р = Я = Я75 = 1,35 • 2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии, что р/п<1, т.е. при« > р = 2,7 . Таким образом, минимальное количество кассиров п[ = 3 .



Найдем характеристики обслуживания СМО при « = 3. Вероятность того,что в центре расчета будет очередь по (10.53): =(2,7/3!(3-2,7))-0,025 = 0,735; среднее число покупателей, находящихся в очереди по (10.55): = (2,7 / 3 • 3 !(1 - 2,7 / 3)) • 0,025 = 7,35; среднее время ожидания в очереди по (10.47):

Г =7,35/1,35 = 5,44 Л1«я; среднее число покупателей в узле расчета по (10.56):

"сист

= 7,35 + 2,7 = 10,05;

среднее время нахождения покупателей в центре расчета по (10.46):

сист

= 10,05/1,35 = 7,44 мин\

среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, по (10.54) равно 2,7;

коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров:

= р/« = 2,7/3 = 0,9.

Абсолютная пропускная способность узла расчета А = \,Ъ5{\1 мин) или 81(1/час), т.е. 81 покупатель в час.

Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров. 1. Относительная величина затрат при « = 3

Сот«=« + ЗГ, =3/1,35 + 3-5,44 = 18,54.

Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях п.

Таблица. 10.1

Характеристика обслуживания

Число контролеров-кассиров

Вероятность простоя контролеров-кассиров

0,025

0,057

0,065

0,067

0,067

Среднее число покупателей в очереди т

5,44

0,60

0,15

0,03

0,01

Относительная величина затрат Соти

18,54

4,77

4,14

4,53

5,22

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [ 92 ] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]