назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [ 91 ] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


91

роятность Pq наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при р < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.

Среднее число заявок в системе Lucm определим по формуле математического ожидания, которая с учетом (10.40) примет вид

Wm = z%=a-p)Zp(10.41)

Можно показать, что формула (10.41) преобразуется (при р < 1) к ви-

Lcucm=T(10.42)

Найдем среднее число заявок в очереди . Очевидно, что

оч=сист-об(10.43)

где - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.

Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающем значение О (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):

об =o-/?o + i(i-ft)

т.е. среднее число заявок под обслуживаем равно вероятности того, что канал занят:

об =Рзан = -Р0-В силу того что pq=\-р получили

об=Рэан=Р-(10.44)

Далее по формуле (10.43) с учетом (10.4-2) и (10.44) получили

Доказаны следующие утверждения; при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дис-



циплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.

Tcucm=jL,cm(10-46)

To4=jL4-(10-47)

Формулы (10.46) и (10.47) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность Я. На основании формулы (10.46) и (10.47) с учетом (10.40) и (10.44) среднее время пребывания заявки в системе определяется по формуле

а среднее время пребывания заявки в очереди:

Точ=---(10.49)

Пример. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 судов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет двое суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.

Для решения этой задачи заметим, что

Р = = об=0,4.2 = 0,8.

Так как р = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.

Вероятность того, что причал свободен, как было показано ранее, /0=1~Р = 1~08 = 0»2, а вероятность того, что он занят =1-0,2 = 0,8.



По формуле (10.39) вероятности того, что у причала находятся 1,2,3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0,1,2 судна) равны

= 0,8(1 - 0,8) = 0,16; Р2 = 0,8 (1 - 0,8) = 0,128; рз = = 0,8(1-0,8) = 0,1024.

Вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна равна

Р = Р\-Р2-РЗ =0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904. По формуле (10.45) среднее число судов, ожидающих разгрузки

=0,87(1-0,8) = 3,2.

Среднее время ожидания разгрузки вычисляется по формуле (10.47): Тц =3,2/0,8 = 4 (суток).

По формуле (10.41) среднее число судов, находящихся у причала, cwcm =0.8/(1-0,8) = 4 (суток), а среднее время пребывания судна у

причала вычисляется по формуле (10.46) Tj = 4:0,8 = 5 суток.

Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна 5 либо увеличение числа причалов «.

Многоканальные СМО с неограниченной очередью. Рассмотрим следующую задачу. Имеется «-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность Я, а поток обслуживания - интенсивность ju. Необходимо найти предельные

вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Система может находиться в одном из состояний Sq, Sj, 2,..., S, ...,5„,...,нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: Sq - в системе нет заявок (все каналы свободны), S - канал занят, s2 - заняты два канала, остальные свободны, Sj - занято к каналов, остальные свободны, S„ - заняты все п каналов (очереди нет); Sf. - заняты все п каналов, г заявок в очереди.

Рассмотрим граф состояний этой системы (рис. 10.8).

Отметим, что в отличие от предьщущей ситуации, интенсивность потока обслуживания (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от О до « увеличивается от величины /и до величины nju, так

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [ 91 ] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]