роятность Pq наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при р < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Среднее число заявок в системе Lucm определим по формуле математического ожидания, которая с учетом (10.40) примет вид
Wm = z%=a-p)Zp(10.41)
Можно показать, что формула (10.41) преобразуется (при р < 1) к ви-
Lcucm=T(10.42)
Найдем среднее число заявок в очереди . Очевидно, что
оч=сист-об(10.43)
где - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.
Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающем значение О (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):
об =o-/?o + i(i-ft)
т.е. среднее число заявок под обслуживаем равно вероятности того, что канал занят:
об =Рзан = -Р0-В силу того что pq=\-р получили
об=Рэан=Р-(10.44)
Далее по формуле (10.43) с учетом (10.4-2) и (10.44) получили
Доказаны следующие утверждения; при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дис-
циплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.
Tcucm=jL,cm(10-46)
To4=jL4-(10-47)
Формулы (10.46) и (10.47) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность Я. На основании формулы (10.46) и (10.47) с учетом (10.40) и (10.44) среднее время пребывания заявки в системе определяется по формуле
а среднее время пребывания заявки в очереди:
Точ=---(10.49)
Пример. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 судов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет двое суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Для решения этой задачи заметим, что
Р = = об=0,4.2 = 0,8.
Так как р = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что причал свободен, как было показано ранее, /0=1~Р = 1~08 = 0»2, а вероятность того, что он занят =1-0,2 = 0,8.
По формуле (10.39) вероятности того, что у причала находятся 1,2,3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0,1,2 судна) равны
= 0,8(1 - 0,8) = 0,16; Р2 = 0,8 (1 - 0,8) = 0,128; рз = = 0,8(1-0,8) = 0,1024.
Вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна равна
Р = Р\-Р2-РЗ =0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904. По формуле (10.45) среднее число судов, ожидающих разгрузки
=0,87(1-0,8) = 3,2.
Среднее время ожидания разгрузки вычисляется по формуле (10.47): Тц =3,2/0,8 = 4 (суток).
По формуле (10.41) среднее число судов, находящихся у причала, cwcm =0.8/(1-0,8) = 4 (суток), а среднее время пребывания судна у
причала вычисляется по формуле (10.46) Tj = 4:0,8 = 5 суток.
Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна 5 либо увеличение числа причалов «.
Многоканальные СМО с неограниченной очередью. Рассмотрим следующую задачу. Имеется «-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность Я, а поток обслуживания - интенсивность ju. Необходимо найти предельные
вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.
Система может находиться в одном из состояний Sq, Sj, 2,..., S, ...,5„,...,нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: Sq - в системе нет заявок (все каналы свободны), S - канал занят, s2 - заняты два канала, остальные свободны, Sj - занято к каналов, остальные свободны, S„ - заняты все п каналов (очереди нет); Sf. - заняты все п каналов, г заявок в очереди.
Рассмотрим граф состояний этой системы (рис. 10.8).
Отметим, что в отличие от предьщущей ситуации, интенсивность потока обслуживания (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от О до « увеличивается от величины /и до величины nju, так