назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [ 90 ] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


90

5.Среднее число каналов, свободных от обслуживания,

6.Коэффициент простоя каналов А*„ = . Очевидно -\- Nq = п .

Несмотря на то что эти зависимости выведены Эрлангом при условии, что время обслуживания распределено экспоненциально, другими исследователями, в частности Форте и Б. А. Севастьяновым, доказана справедливость формул Эрланга для произвольного абсолютно непрерывного закона распределения обслуживания (при условии конечности его математического ожидания). Эти выводы позволяют значительно расширить рамки применимости формул Эрланга.

Пример. Оценить работу АТС, которая имеет п = 5 линий связи. Предполагаем, что поток требований: простейший с интенсивностью Я = 2 вызова/ед. времени. Продолжительность разговоров распределена экспоненциально, причем Т = 1 ед. времени. Решение.

Определим коэффициент загрузки р = Я/ ju = Xtc = 2 .Вероятность того что все линии связи свободны.

Вероятность отказа в обслуживании

р„= 0,138- -= 0,037.

Среднее число занятых линий связи

=1,93 линий.

222 224 2 1 - + 2 - + 3 - + 4--+ 5"

1! 2! 3! 4! 5!

Коэффициент загрузки линий связи

i<:,= = - = 0,386 «0,39. п 5



Среднее число свободных линий связи

No = Tin- k)pj, = X (5 - )Ро = 3,05. k=\к=\•

Коэффициент простоя равен:

п 5

10.6. Системы массового обслуживания с ожиданием

в одноканальной СМО с неограниченной очередью если среднее число заявок, приходящих в единицу времени меньше среднего числа заявок, обслуженных за это время, то предельные вероятности существуют.

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме показателей абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа Ротк, среднего числа занятых каналов к (для многоканальной системы), будем рассматривать также следующие: Lcucm - среднее число заявок в системе; rcw - среднее время пребывания заявки в системе L - среднее число заявок в очереди (длина очереди); - среднее время пребывания заявки в очереди; Р - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Одноканальная система с неограниченной очередью. На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат). Рассмотрим следующую задачу. Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающий в СМО, имеет интенсивность Я, а поток обслуживания - интенсивность . Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из состояний Sq, 5], 2,..., 5 по числу заявок, находящихся в СМО: 5q - канал свободен, S\ - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, 2 -канал занят, одна заявка стоит в очереди 5 - канал занят, {кЛ) заявок стоят в очереди и т.д. 278



Граф состояний СМО представлен на рис. 10.7.

я я

Рис. 10.7

Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна Л, а интенсивность потока обслуживания ju. Пусть р есть отношение среднего

числа приходящих заявок к среднему числу обслуживаемых заявок (в единицу времени). Доказано следующее утверждение: если р<1, то предельные вероятности существуют; если р > 1, то очередь растет до бесконечности. Для определения предельных вероятностей состояний применим формулы (10.29), (10.30) для процесса размножения и гибели

(10.38)

1 + р + р+

Так как предельные вероятности существуют только при р < 1, то геометрический ряд со знаменателем р < 1, записанный в скобках в

формуле (10.38), сходится к сумме равной

Поэтому

(10.39)

С учетом формулы (10.30) р=р р\р= рр,...,р = Р Р; Найдем предельные вероятности других состояний

Pl = р(\ - р)\ Р2 = (1 - Р). •.., Л = (1 - Р).

(10.40)

Предельные вероятности Pq, р\, Р2, , Ркобразуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем р < 1, следовательно, ве-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [ 90 ] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]