Вычислим (pf (()) по правшту дифференцирования сложной функции <р1 (х{а)) = [±{х, {сс)-аА = 2±(х, {а)-а)х\ (а).
так как
л?(а)=(а+(!-«)*,) =х,-Ь„ а х, (О ) =
получим
<р {х{а))=2±{х,{а)-а,){х,-Ь,)
/ = 1 п
„(0) = 21(А-а,)(д:,-6,)>0
и, следовательно, YXpi ~ )(/ ~ ) О • /=1
Обозначим Pi =а,. - ft,., / = !,...,«, /? = (/?p....P«). S */П""*/
Тогда полученное неравенство можно переписать следующим обра-
зом: Z / . /=1
Поскольку вектор р = (/?!,.и число с не зависят от выбранного вектора хgX, то необходимо только убедиться, что рФО и {р,а)>с,
Первое следует из того, что ра-Ь и ЬХ\ аеХ и наконец
(/7,а)-с = Х(/ -*/)/~й,) = Е(ц >0. Следовательно
/=1/=1/=1
{р,а)>с.
Теорема доказана.
Среди точек выпуклого множества можно выделить точки внутренние, граничные и угловые. Точка множества называется внутренней, если существует окрестность, в которой содержатся только точки данного множества. Точка множества называется граничной, если в любой ее окрестности содержатся как точки принадлежащие данному
множеству, так и точки не принадлежащие ему. Точка множества называется угловой (или крайней), если она не является внутренней ни для одного отрезка, целиком принадлежащего данному множеству. Для выпуклого множества угловые точки всегда совпадают с вершинами многогранника.
Множество точек называется замкнутым, если включает все свои граничные точки. Множество точек называется ограниченным, если существует шар радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, которой полностью содержит в себе данное множество. В противном случае множество называется неограниченным.
Выпуклое замкнутое множество точек пространства ВР, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником, если оно ограниченно, и выпуклой многогранной областью, если оно неограниченное.
Рассмотрим систему линейных неравенств вида
ад+222+- + 2А*2
Будем считать, что если есть ограничение видаО, то они включены в систему неравенств в форме -х/ < О.
Обозначим символом ai вектор а, =(а.р...,а,„) -/строку матрицы
коэффициентов системы (2.3).
Тогда систему неравенств (2.3) можно переписать в следующем ш-
Если обозначить через А матрицу А = (ау, / = !,...,/«, у = !,...,« система неравенств (2.3) записывается в виде Ах<Ь, где
Обозначим через X множество допустимых векторов системы (2.3), т.е. X = (xeR"\Ax<b , Может оказаться, что множество допустимых векторов X пусто. Например х < 1, -Xj < -2. Поэтому в дальнейшем будем считать, что множество X не является пустым множеством. Скалярное произведение векторов сих далее будем обозначать
2.35
Теорема 2.5. Множество X допустимых векторов выпукло и замкнуто.
Доказательство. Покажем, что полупространство X., определяемое одним неравенством (a,,x)<fe,, выпукло. Выберем две точки х,хеХ/ . Тогда (a,.,x) < , (а,,х) < b.
Пусть а произвольное число О < ci: < 1. Тогда а (а/, х) < abi, (\-a){a,x)<(\-a)b. Складывая эти неравенства получим (а, ,ах + (1 - сс)х) < Ь,. Отсюда вытекает выпуклость множества Х .
Так как множество X является пересечением полупространства Х,
т.е. хеХтогда и только тогда, когда х принадлежит всем Х, / = . Используя теорему 2.2 о том, что пересечение выпуклых множеств выпукло получим, что множество X выпукло.
Докажем, что X является замкнутым. Напомним, что множество является замкнутым, если оно содержит предельную точку любой сходящейся последовательности, элементы которой принадлежат данному множеству. Пусть х(к) еХ - произвольная сходящаяся последовательность, lim х[к) = х.
Перейдем к пределу неравенства Ах[к)<Ь при к-оо. В силу непрерывности функций a,iXi + а22 + ••• + тп / = h-,rn получим Ах<Ь. Теорема доказана.
Далее будет изучен специальный класс выпуклых множеств, отвечающий геометрическому представлению о многогранниках.
Определение 2.4. Пусть- произвольные точки из R".
Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма вида ax\a2X,..,,ajx, где - произвольные неотрицательные числа, сум-
ма которых равна 1: а, > О, / = 1,...,А:, = 1 •
Согласно определению 2.1 множество X называется выпуклым, если оно содержит выпуклую линейную комбинацию любых двух своих точек.
Теорема 2.6. Пусть X - выпуклое множество, xx...,x произвольной точки из X. Тогда множество X содержит любую выпуклую комбинацию этих точек. 36