назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [ 9 ] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


9

Вычислим (pf (()) по правшту дифференцирования сложной функции <р1 (х{а)) = [±{х, {сс)-аА = 2±(х, {а)-а)х\ (а).

так как

л?(а)=(а+(!-«)*,) =х,-Ь„ а х, (О ) =

получим

<р {х{а))=2±{х,{а)-а,){х,-Ь,)

/ = 1 п

„(0) = 21(А-а,)(д:,-6,)>0

и, следовательно, YXpi ~ )(/ ~ ) О • /=1

Обозначим Pi =а,. - ft,., / = !,...,«, /? = (/?p....P«). S */П""*/

Тогда полученное неравенство можно переписать следующим обра-

зом: Z / . /=1

Поскольку вектор р = (/?!,.и число с не зависят от выбранного вектора хgX, то необходимо только убедиться, что рФО и {р,а)>с,

Первое следует из того, что ра-Ь и ЬХ\ аеХ и наконец

(/7,а)-с = Х(/ -*/)/~й,) = Е(ц >0. Следовательно

/=1/=1/=1

{р,а)>с.

Теорема доказана.

Среди точек выпуклого множества можно выделить точки внутренние, граничные и угловые. Точка множества называется внутренней, если существует окрестность, в которой содержатся только точки данного множества. Точка множества называется граничной, если в любой ее окрестности содержатся как точки принадлежащие данному



множеству, так и точки не принадлежащие ему. Точка множества называется угловой (или крайней), если она не является внутренней ни для одного отрезка, целиком принадлежащего данному множеству. Для выпуклого множества угловые точки всегда совпадают с вершинами многогранника.

Множество точек называется замкнутым, если включает все свои граничные точки. Множество точек называется ограниченным, если существует шар радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, которой полностью содержит в себе данное множество. В противном случае множество называется неограниченным.

Выпуклое замкнутое множество точек пространства ВР, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником, если оно ограниченно, и выпуклой многогранной областью, если оно неограниченное.

Рассмотрим систему линейных неравенств вида

ад+222+- + 2А*2

Будем считать, что если есть ограничение видаО, то они включены в систему неравенств в форме -х/ < О.

Обозначим символом ai вектор а, =(а.р...,а,„) -/строку матрицы

коэффициентов системы (2.3).

Тогда систему неравенств (2.3) можно переписать в следующем ш-

Если обозначить через А матрицу А = (ау, / = !,...,/«, у = !,...,« система неравенств (2.3) записывается в виде Ах<Ь, где

Обозначим через X множество допустимых векторов системы (2.3), т.е. X = (xeR"\Ax<b , Может оказаться, что множество допустимых векторов X пусто. Например х < 1, -Xj < -2. Поэтому в дальнейшем будем считать, что множество X не является пустым множеством. Скалярное произведение векторов сих далее будем обозначать

2.35



Теорема 2.5. Множество X допустимых векторов выпукло и замкнуто.

Доказательство. Покажем, что полупространство X., определяемое одним неравенством (a,,x)<fe,, выпукло. Выберем две точки х,хеХ/ . Тогда (a,.,x) < , (а,,х) < b.

Пусть а произвольное число О < ci: < 1. Тогда а (а/, х) < abi, (\-a){a,x)<(\-a)b. Складывая эти неравенства получим (а, ,ах + (1 - сс)х) < Ь,. Отсюда вытекает выпуклость множества Х .

Так как множество X является пересечением полупространства Х,

т.е. хеХтогда и только тогда, когда х принадлежит всем Х, / = . Используя теорему 2.2 о том, что пересечение выпуклых множеств выпукло получим, что множество X выпукло.

Докажем, что X является замкнутым. Напомним, что множество является замкнутым, если оно содержит предельную точку любой сходящейся последовательности, элементы которой принадлежат данному множеству. Пусть х(к) еХ - произвольная сходящаяся последовательность, lim х[к) = х.

Перейдем к пределу неравенства Ах[к)<Ь при к-оо. В силу непрерывности функций a,iXi + а22 + ••• + тп / = h-,rn получим Ах<Ь. Теорема доказана.

Далее будет изучен специальный класс выпуклых множеств, отвечающий геометрическому представлению о многогранниках.

Определение 2.4. Пусть- произвольные точки из R".

Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма вида ax\a2X,..,,ajx, где - произвольные неотрицательные числа, сум-

ма которых равна 1: а, > О, / = 1,...,А:, = 1 •

Согласно определению 2.1 множество X называется выпуклым, если оно содержит выпуклую линейную комбинацию любых двух своих точек.

Теорема 2.6. Пусть X - выпуклое множество, xx...,x произвольной точки из X. Тогда множество X содержит любую выпуклую комбинацию этих точек. 36

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [ 9 ] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]