Одноканальная система с отказами. Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью Я. Поток обслуживания имеет интенсивность 1л . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S имеет два состояния: - канал свободен, 5] - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 10.5.
Рис. 10.5
В предельном стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид
[Яро=/А [ Р1=Яро,
(10.31)
т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая, что + Л = 1» найдем из (10.31) предельные вероятности состояний
РО =1-Р\ =
(10.32)
которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии iSq (когда канал свободен) и S\ (когда канал занят), т.е. определяют соответственно пропускную способность Q системы и вероятность отказа Ротк
р -
/i + Я
(10.33)
(10.34)
Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность на интенсивность потока отказов
Я + ju
Пример. Пусть заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью Я равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера. В данной задаче Я = 90(1/ч), Тб=2 мин.
Интенсивность потока обслуживания
= -= - = 0,5(1/мин) = об 2
30(1/час). Используя формулу (10.33), получим, что относительная пропускная способность СМО Q = 30(90 + 30) = 0,25, т.е. в среднем только 25 % поступивших заявок осуществляет переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании согласно (10.34) составит
Рот. = 0,15,
Абсолютная пропускная способность СМО составит: = 90 • 0,25 = 22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.
Пример. Рассмотрим классическую задачу Эрланга. Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок интенсивности Я. Поток обслуживания имеет интенсивность ju. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): Sq, S, ..., 5,..., 5 : Здесь S/, - состояние системы, когда в ней находится к заявок, т.е. занято к каналов.
Граф состояний СМО, соответствующий процессу гибели и размножения на рис. 10.6.
| | | | | А А | | Л л | |
| | | | | | -р,,..- | |
| | | | | 2и к/а | | (к + \)м пц | |
Рис, 10,6
Поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое. Интенсивность потока обслуживания наоборот переводит систему из любого правого состояния в соседнее левое. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S\ (один канал занят), когда закончит обслуживание
либо первый, либо второй канал. Аналогично для любого из состояний 5з,...,5„.
Для этой задачи в стационарном режиме Эрлангом были найдены следующие зависимости.
1.Вероятность того, что обслуживанием заняты к каналов:
р,=-,к = 0,\,...,п,(10.35)
к Л .
где р =-;Я-плотность потока заявок; п - число каналов (приборов);
ц = --параметр обслуживания одним прибором (каналом).
2.Частными случаями (10.35) будут:
а)вероятность того, что все обслуживающие приборы свободны:
б)вероятность того, что все приборы заняты. Это одновременно и вероятность отказа в обслуживании вновь поступившего требования в систему
3.Среднее число приборов, занятых обслуживанием
п п
4.Коэффициент зафузки приборов