назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [ 89 ] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


89

Одноканальная система с отказами. Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью Я. Поток обслуживания имеет интенсивность 1л . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S имеет два состояния: - канал свободен, 5] - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 10.5.

Рис. 10.5

В предельном стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид

[Яро=/А [ Р1=Яро,

(10.31)

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая, что + Л = 1» найдем из (10.31) предельные вероятности состояний

РО =1-Р\ =

(10.32)

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии iSq (когда канал свободен) и S\ (когда канал занят), т.е. определяют соответственно пропускную способность Q системы и вероятность отказа Ротк

р -

/i + Я

(10.33)

(10.34)

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность на интенсивность потока отказов

Я + ju



Пример. Пусть заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью Я равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера. В данной задаче Я = 90(1/ч), Тб=2 мин.

Интенсивность потока обслуживания

= -= - = 0,5(1/мин) = об 2

30(1/час). Используя формулу (10.33), получим, что относительная пропускная способность СМО Q = 30(90 + 30) = 0,25, т.е. в среднем только 25 % поступивших заявок осуществляет переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании согласно (10.34) составит

Рот. = 0,15,

Абсолютная пропускная способность СМО составит: = 90 • 0,25 = 22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Пример. Рассмотрим классическую задачу Эрланга. Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок интенсивности Я. Поток обслуживания имеет интенсивность ju. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): Sq, S, ..., 5,..., 5 : Здесь S/, - состояние системы, когда в ней находится к заявок, т.е. занято к каналов.

Граф состояний СМО, соответствующий процессу гибели и размножения на рис. 10.6.

А А

Л л

-р,,..-

2и к/а

(к + \)м пц

Рис, 10,6

Поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое. Интенсивность потока обслуживания наоборот переводит систему из любого правого состояния в соседнее левое. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S\ (один канал занят), когда закончит обслуживание



либо первый, либо второй канал. Аналогично для любого из состояний 5з,...,5„.

Для этой задачи в стационарном режиме Эрлангом были найдены следующие зависимости.

1.Вероятность того, что обслуживанием заняты к каналов:

р,=-,к = 0,\,...,п,(10.35)

к Л .

где р =-;Я-плотность потока заявок; п - число каналов (приборов);

ц = --параметр обслуживания одним прибором (каналом).

2.Частными случаями (10.35) будут:

а)вероятность того, что все обслуживающие приборы свободны:

б)вероятность того, что все приборы заняты. Это одновременно и вероятность отказа в обслуживании вновь поступившего требования в систему

3.Среднее число приборов, занятых обслуживанием

п п

4.Коэффициент зафузки приборов

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [ 89 ] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]