второй узел /72 +РЗ = О27+ 0,13 = 0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы равен Д = 0,67 10 + 0,6-6-0,33-4-0,4-2 = 8,18 ден. ед. Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого узла будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончания ремонтов» каждого узла, т.е. теперь Яо =4, Я20 =6, Я31 =6, Я32 =4 и система уравнений, описывающая стационарный режим системы S, будет иметь вид:
3/7o=4/?i+6j92 4А=Р0 + 6рз 7p2=2j90+4/?3
Р0-Р\Р2РЗ=
Решив систему, получим pQ = 0,6, pi = 0,15, /?2 = О» 2, р = 0,05 . Учитывая, что Ро+/2 =0,6 + 0,2 = 0,8, Ро+Р1 =0,6 + 0,15 = 0,75 Р\ + РЗ =0,15 + 0,05 = 0,2, Р2 + рз =0,2 + 0,05 = 0,25, а затраты на ремонт первого и второго узла составляют соответственно 8 и 4 ден. ед., вычислим чистый средний доход в единицу времени: Д1 =0,8-10 + 0,75-6-0,2.8-0,25-4 = 9,99 ден. ед.
Так как Д] больше Д (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонта узлов очевидна.
10.4. Процесс размножения и гибели
Рассматриваемый в СМО процесс размножения и гибели характеризуется тем, что если все состояния системы пронумеровать So, Sj, Sn, TO из состояния Sf, (k<n) можно попасть либо в состояние S/c.j либо в состояние 3+/.
В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов- так называемый процесс размножения и гибели. Название этого процесса связано с рядом задач, которые описывают динамику биологических популяций. Граф состояний процесса размножения и гибели имеет вид, представленный на рис. 10.3.
Puc. 10.3
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы Sq, Sj, 2,..., Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояние с соседним номером, т.е. из состояния 5 возможны только переходы в состояние или Sji. Будем полагать, что все потоки событий простейшие, с соответствующими интенсивностя-ми Aj+i или Xjij. По графу состояний на рис. 10.3 сформируем
систему уравнений для предельных вероятностей состояний. В соответствии с правилами составления таких уравнений для состояния Sq получим
\Ро=\оР\-(10.26)
Для состояния Si соответствующее уравнение имеет
вид:(Я12 +/lio)Pl =\Po-h\P2 •
Это уравнение с учетом (10.26) преобразуется к виду
\2P\=h\P2(10.27)
Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, получим следующую систему уравнений
\РО=МоР\ hlP\ =h\Pl
4-ikPk-\ = \k+\Pk
(10.28)
к которой добавляется условие
Р0+А+Р2+--- + Ра2=1-Решая систему (10.28)-(10.28.1), получим
Р0 =
Л)1 12)1 -1п2к)\ Р\ =-РоР2 =-ГТР0".Рп =1-ГТ"
(10.28.1)
(10.29) РО- (10.30)
Можно заметить, что в формулах (10.30) для /?, Ръ - Рп коэффициенты при есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле
(10.29). Числители этих коэффициентов есть произведение всех интенсивностей, стоящих у дуг графа, ведущих справа налево до состояния
Пример. Процесс гибели и размножения представлен графом состояния на рис. 10.4. Найти предельные вероятности состояний.
Рис, 10,4
По формуле (10.29) найдем р\
Р0 =
1 1 2-1 4 3-4
= 0,706.
Используя формулу (10.30), получим
Pl =-0,706 = 0,176, pi = - 0,706 = 0,118, 43-4
т.е. в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находиться в состоянии 50,17,6%- в состоянии 5], и 11,8% - в состоянии 2.
10.5. Системы с отказами
Формулы Эрланга позволяют определять предельные вероятности состояния через канала для многоканальной СМО с отказами.
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать: А - абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число интенсивности нагрузки
заявок, обслуживаемых в единицу времени. Q - относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой; Ротк- вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной; к - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).