назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [ 88 ] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


88

второй узел /72 +РЗ = О27+ 0,13 = 0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы равен Д = 0,67 10 + 0,6-6-0,33-4-0,4-2 = 8,18 ден. ед. Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого узла будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончания ремонтов» каждого узла, т.е. теперь Яо =4, Я20 =6, Я31 =6, Я32 =4 и система уравнений, описывающая стационарный режим системы S, будет иметь вид:

3/7o=4/?i+6j92 4А=Р0 + 6рз 7p2=2j90+4/?3

Р0-Р\Р2РЗ=

Решив систему, получим pQ = 0,6, pi = 0,15, /?2 = О» 2, р = 0,05 . Учитывая, что Ро+/2 =0,6 + 0,2 = 0,8, Ро+Р1 =0,6 + 0,15 = 0,75 Р\ + РЗ =0,15 + 0,05 = 0,2, Р2 + рз =0,2 + 0,05 = 0,25, а затраты на ремонт первого и второго узла составляют соответственно 8 и 4 ден. ед., вычислим чистый средний доход в единицу времени: Д1 =0,8-10 + 0,75-6-0,2.8-0,25-4 = 9,99 ден. ед.

Так как Д] больше Д (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонта узлов очевидна.

10.4. Процесс размножения и гибели

Рассматриваемый в СМО процесс размножения и гибели характеризуется тем, что если все состояния системы пронумеровать So, Sj, Sn, TO из состояния Sf, (k<n) можно попасть либо в состояние S/c.j либо в состояние 3+/.

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов- так называемый процесс размножения и гибели. Название этого процесса связано с рядом задач, которые описывают динамику биологических популяций. Граф состояний процесса размножения и гибели имеет вид, представленный на рис. 10.3.

h.3 h-\,k

\k+\

hi h,k 1

Puc. 10.3



Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы Sq, Sj, 2,..., Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояние с соседним номером, т.е. из состояния 5 возможны только переходы в состояние или Sji. Будем полагать, что все потоки событий простейшие, с соответствующими интенсивностя-ми Aj+i или Xjij. По графу состояний на рис. 10.3 сформируем

систему уравнений для предельных вероятностей состояний. В соответствии с правилами составления таких уравнений для состояния Sq получим

\Ро=\оР\-(10.26)

Для состояния Si соответствующее уравнение имеет

вид:(Я12 +/lio)Pl =\Po-h\P2 •

Это уравнение с учетом (10.26) преобразуется к виду

\2P\=h\P2(10.27)

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, получим следующую систему уравнений

\РО=МоР\ hlP\ =h\Pl

4-ikPk-\ = \k+\Pk

(10.28)

к которой добавляется условие

Р0+А+Р2+--- + Ра2=1-Решая систему (10.28)-(10.28.1), получим

Р0 =

Л)1 12)1 -1п2к)\ Р\ =-РоР2 =-ГТР0".Рп =1-ГТ"

(10.28.1)

(10.29) РО- (10.30)



Можно заметить, что в формулах (10.30) для /?, Ръ - Рп коэффициенты при есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле

(10.29). Числители этих коэффициентов есть произведение всех интенсивностей, стоящих у дуг графа, ведущих справа налево до состояния

Пример. Процесс гибели и размножения представлен графом состояния на рис. 10.4. Найти предельные вероятности состояний.

Рис, 10,4

По формуле (10.29) найдем р\

Р0 =

1 1 2-1 4 3-4

= 0,706.

Используя формулу (10.30), получим

Pl =-0,706 = 0,176, pi = - 0,706 = 0,118, 43-4

т.е. в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находиться в состоянии 50,17,6%- в состоянии 5], и 11,8% - в состоянии 2.

10.5. Системы с отказами

Формулы Эрланга позволяют определять предельные вероятности состояния через канала для многоканальной СМО с отказами.

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать: А - абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число интенсивности нагрузки

заявок, обслуживаемых в единицу времени. Q - относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой; Ротк- вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной; к - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [ 88 ] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]