назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [ 87 ] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


87

можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (Ло1 + Aq2) » т.е. в соответствии с (10.21) с вероятностью приближенно равной (Aqi + Ло2) • Вероятность же того, что система не выйдет из состояния Sq, равна по теореме умножения вероятностей

Ро(0[1-(1+Л)2)Д< • 2. Система в момент / с вероятностями /?1(г)(или /?2 (О) находилась в состоянии Si или 2 и за время At перешла в состояние Sq . Потоком, интенсивностью Я1о(или Я20 следует из рис. 10.1) система перейдет в состояние Sq с вероятностью приближенно равной Я] о А/ (или Я20А/). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии Sq по этому способу, равна pi{t)X\QAt (или p2(t)Я2QAt). Применяя теорему сложения вероятностей, получим

PQ{t + АО = рКОАоА/ + P2(t)A2QAt + pQ(t)[l - (Я01 + Я02) А/], откуда

Переходя к пределу в левой части последнего равенства получим:

р6(0 = loPi (О + hoPliO - (Л)1 + Л)2 )Ро(0.

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы 5, получим систему дифференциальных уравнений, которая носит название системы дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний

рЫО = ЯlQPl (/) + Z2QP2 (О -(1 + h2)Po(0 р\ (О = Л) 1/0 (О + 31ft (О - (10 + l 3 ) р\ (О /?2(0 = 2Р( (О + 2РЪ (О - (20 + 23 ) ft (О РЗ(0 = МъР\ (О + 23ft+ 32)ft (0.

(10.23)

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятностей /-го состояния. В правой части - сумма произведений вероятностей всех состоя-268



НИИ (из которых идут дуги в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного состояния.

В системе (10.23) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений, поэтому для решения системы для каждого фиксированного t необходимо добавить еще уравнение (10.22). Особенность решения дифференциальных уравнений состоит в том, что необходимо задать начальные условия уравнений, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент времени t = 0 . Так, например, систему уравнений (10.23) естественно решать при условии, что в начальный момент времени t = О оба узла исправны и система находится в состоянии Sq, Т.е. при начальном условии

Р0(0) = 1,р,(0) = Р2(0) = Рз(0) = 0.

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы pi{t) в предельном стационарном решении, т.е. при г -> оо , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния S имеет вполне определенный

смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния Sq , т.е. Ро = то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии Sq .

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы 5 с графом состояний, изображенном на рис. 10.1, такая система уравнений имеет вид

(Л01 + Ло2);?0 =10/1 + 20/2 {ЯlQ+Яl2)p\=ЛQlPQ+Я2lPз(10 24)

{Я2Q-Я2з)p2=ЯQ2P0-h2Pз (Яз1 +Яз2)/?з =Ai3/?i +Я23Р2.



Система (10.24) может быть получена непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом, согласно которому в левой части уравнений стоит предельная вероятность данного состояния pi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, входящих в /-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример. Найти предельные вероятности для системы, граф состояний которого изображен на рис. 10.1 при

Л)1 = 1 Л)2 = 2, Аю = 2, = 2, Я20 = 3, Я23 = Ь 31 = 3, Я32 = 2.

Система алгебраических уравнений для этого случая согласно (10.24) имеет вид

Зро =2pi +3р2

Ар2 = 2pQ + 2р2 P0+Pl+P2+ft =1-

Решив линейную систему уравнений, получим /?о = 0,4;pi = 0,2; Р2 = 0,27; Р2 =0,13; т.е. в предельном стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии Sq (оба узла исправны), 13% времени в состоянии Si (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии 52 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% в состоянии .з (оба узла ремонтируются).

Определим чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме рассмотренной системы S в условиях, что в единицу времени исправная работа узла один и узла два приносит доход соответственно 10 и 6 денежных единиц, а их ремонт требует соответственно затрат 11 и 2 денежных единиц. Оценим экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Для решения этой задачи с учетом полученных значений PQ,Pi,

Pi» Ръ определим долю времени исправной работы первого узла, т.е.

Pq +/>з =0,4 + 0,27 = 0,67 и долю времени исправной работы второго узла ро + ft = 0,4 + 0,2 = 0,6. В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени равную /? +/?з =0,2 + 0,13 = 0,33, а

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [ 87 ] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]