назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


86

X IS PliS) = --poiS) =-J,(10.12)

{я+sy

P2iS) = -,...,p„iS)= "(10.13)

Используя таблицы соответствий преобразования Лапласа, найдем окончательно [44]:

P0(r) = e-;p,(r) = ,...,p„(T)J-llf. (10.14) 1!п\

Как видим, нами получено распределение Пуассона, причем величина Лт есть среднее число событий Е в интервале г .

Таким образом, ординарный поток заявок без последствий описывается распределением (законом) Пуассона.

Следует отметить, что простейший поток в теории массового обслуживания играет такую же роль, как и нормальный закон в теории вероятности. Главная его особенность заключается в том, что при сложении нескольких независимых простейших потоков образуется суммарный поток, который также близок к простейшему.

Непосредственной подстановкой получаем

(10.15)

Pn+li) = -Pnir).(10.16)

« + 1

Процесс многократного появления однородных событий Е через случайные интервалы времени при выполнении условий стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется процессом Пуассона.

Найдем распределение интервала времени Т между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока. В соответствии с (10.10) вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий, равна



p{T>t) = e

(10.17)

a вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины Г, есть

Fit) = piT<t) = \-e-

(10.18)

Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения (рис. 10.2.), т.е.

cpit) = F\t) = Xe-

(10.19)

Рис 10.2

Распределение, задаваемое плотностью вероятности (10.19) или функцией распределения (10.18), называется показательным, или экспоненциальным. Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратичному отклонению случайной величины и обратно по величине интенсивности потока Я+

г 1

(10.20)

Доказательство этого факта приводится в [25].

Важнейшее свойство показательного распределения состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время г, то это никак не влияет на закон



распределения оставшейся части промежутка (Г - г): он будет таким же,

как и закон распределения всего промежутка Т.

Для простейшего потока с интенсивностью Я вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени Д/ хотя бы одного события потока равна, согласно (10.18),

Рм = Р(Т < АО = 1 - е~ « Ш,(10.21)

10.3. Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое

Если число состояний системы конечно и из каждого из них можно за конечное число шагов перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере процесса, граф которого изображен на рис 10.1. Будем полагать что все переходы системы из состояния в Sj

происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями состояний= 0,1,2,3).

Так, переход системы из состояния Sq в состояние 5] будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S\ в Sq - под воздействием потока и событий, связанных с окончанием ремонтов первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным. Рассматриваемая система S имеет четыре возможные состояния: Sq, Sj, . Назовем вероятностью /-го состояния вероятность /?Д/) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si . Очевидно, что для любого момента / сумма вероятностей всех состояний равна единице:

1Л(0 = 1.(10.22)

Рассмотрим систему в момент / и, задав малый интервал времени At, найдем вероятность pQ{t -\- At)того, что система в момент t + At будет находиться в состоянии Sq . Это достигается разными способами. 1. Система в момент t с вероятностью PQ{t), находясь в состоянии Sq

и за время At, не вышла из него. Вывести систему из этого состояния

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]