назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


85

10.2. Входящий поток требований

Поток требований или заявок, поступающий в СМО, является вероятностным, т.е. они поступают через случайные промежутки времени.

Процесс поступления в систему массового обслуживания требований является вероятностным. Он предоставляет собой поток однородных или неоднородных событий, поступающих через случайные промежутки времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов компьютеров, поток покупателей и т.д.).

Поток характеризуется интенсивностью X - частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха в том случае, если он движется с постоянной скоростью, является регулярным.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная X{t) = X. Поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но его можно считать стационарным в течение какого-то временного интервала, например, в часы пик. В этом случае, хотя количество автомобилей, проходящих в единицу времени, будет отличаться друг от друга, их среднее число будет постоянным и не будет зависеть от времени.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени - ri и Г2 - число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последствия. А поток покупателей, отходящих от кассы с покупками, уже имеет последствие. Это следует из того, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени At двух и более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов,



подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов неординарен. Вероятность того, что событие произойдет один раз на интервале dt для ординарного потока пропорциональна dt и равна Xdt,

Поток событий называется простейшим, если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последствий.

Определим распределение веро-поток событий (требований)

ятностей для такого потока (т.е. пай-называется простейшим, если он

дем величины р„(г), п = 0,1, ... к).одновременно стационарен, ор-

Для любого промежутка времени г"Р" " последейст-

ВИЯ.

имеем:

Ро(т) +Р1(т) + ... +рМ + ... = 1.(10.1)

Кроме того, для промежутка At

Po(At) + pi(At) + ... + pk(At) + ... = 1.(10.2)

Но по предположению об ординарности при At dt величины pidAt), А: = 2,3, ... бесконечно малые по сравнению с А/, и потому

Po{di)+px{dt)=\.(10.3)

Так как

px{dt)Ut,

po(dt)=\-7uit.(10.4)

Вычислим теперь вероятность р„(г+ dt) того, что в интервале т+ dt произойдет п событий Е. Для того чтобы в интервале т + dt событие Е произошло п раз, должен осуществиться один из взаимоисключающ1их случаев:

1)п событий Е в интервале г и О событий Е в интервале dr, следующем непосредственно за г, вероятность этого случая р„(г)(1 - Xdr);

2)(п- \) событий Е в интервале г и одно событие в интервале dr, соответствующая вероятность равнарп i(r)(l - Xdr).

Таким образом, по формуле полной вероятности

р„(г+ dt) = р,{т){\ - XdT) + р„ i(r) (\-Х dr) + Q{dT\(10.5)

где 0((ir) - бесконечно малые высшего порядка по сравнению с dr.

PniT+dt)-p„(T)=-Xp,(T)dT+ Xp„.,{T)dT(10.6)



dtdr " " (10.7)

= -Л[р„{г)-р„ 1(т)],

где и= 1,2, ...

Если и = О, то из (10.7), с учетом того, что p„ i (г) = О,

получим

= PQ(T) = -Xpo(T).(10.8)

Дифференциальные уравнения (10.7), (10.8) описывают состояния простейшего потока.

Дополним их очевидными начальными условиями:

P0{0) = lp{0) = ln = l2,....(10.9)

Решая (10.8) с учетом (10.9), сразу получим

Р0(т) = е\(10.10)

Для нахождения решения системы (10.7) используем преобразование Лапласа-Карсона. Для этого положим [38,40]

Pn(S) = L{p(T)} =

= s]p(T)e-dT,n = 0,U, О

Применив это преобразование к системе (10.7), приходим к системе алгебраических уравнений

Sp„(S) = -A[p„(S)-p„ iS)

Так как

Pn(S) = -p„.l{S).(10.11)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]