назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [ 83 ] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


83

Теорема. Пусть задача (9.6) есть задача минимизации, функции /х),gy(x) дифференцируемы на допустимом множестве. Функции g/(x), /= 1, m выпуклые и удовлетворяют условиям регулярности. Функция Дх) является выпуклой. Тогда точка х* =(х*,...,х*) является оптимальным решением задачи (9.6) тогда и только тогда, когда существуют значения Я1*,...,Я такие, что выполняются соотношения (9.8).

Рассмотрим пример использования условий Куна-Таккера для обоснования оптимальности найденной точки.

Пример. Производитель имеет возможность закупить некоторый химический компонент в количестве 17.25 единиц по цене 10 долл. за единицу. Из единицы данного вещества можно произвести единицу продукции 1, затратив 3 долл. на переработку, или единицу продукта 2, затратив 5 долл. на переработку. Если произведено единиц продукции 1, то она будет продана по цене 30 - Х] долл. за единицу. Если будет произведено 2 единиц продукции 2, то она будет продана по цене 50 - 2 Х2 долл. за единицу. Определите, каким образом производитель должен максимизировать свою прибыль.

Решение.

Таким образом, переменными задачи являются Х] - количество единиц продукции 1, Х2 - количество единиц продукции 2, хз - количество единиц закупленного химического компонента.

В математическом виде задача о максимизации прибыли производителя формулируется в следующем виде:

max(xi (30 - Xl) + Х2 (50 - 2x2) - - 5x2 -103 )

Xi4-X2-X3<0,

хз < 17.25, Xi,X2,X3 >0.

Целевая функция является вогнутой функцией (как сумма вогнутых функций). Функции ограничений являются вьшуклыми (так как они являются линейными). Функции ограничений удовлетворяют условиям регулярности (так как они являются линейными). Поэтому для данной задачи условия (9.7) являются необходимыми и достаточными условиями оптимальности. Для данной задачи условия (9.7) принимают следующий вид:



50-4x2-5->., =0

(9.10)

-10 + Xi-X2=0

(9.11)

Ы-х\-Х2+Х2) = 0

(9.12)

>.2(1725-Хз) = 0

(9.13)

Xi>0

(9.14)

>.2>0

(9.15)

Далее рассмотрим несколько случаев.

1.=2 =0.Но это невозможно, поскольку будет нарушено соотношение (9.11).

2.1 = 0,>.2 > О.Так как = О, то из (9.11) >.2 = »то противоречит (9.15).

3.> 0,Х2 = 0. Из (9.11) = 10. Из (9.9) = 8,5, а из (9.10) Х2 = 8,75 .

Из (9.12) Хз =17,25. Поэтому x*i=8,5, х*2=8,75, х*з =17,25,

Х*1 = 10, >.*2 = О - удовлетворяют условиям Куна-Таккера, а следовательно, оптимальная точка найдена. Таким образом, максимальная прибьшь будет достигнута при закупке химического компонента в количестве 17,25, производстве продукта 1 в количестве 8,5, а продукта 2 в количестве 8,75.



Глава 10

ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

IB реальной жизни часто приходит-ся сталкиваться с ситуациями, в кото-рых необходимо пребывать в состоянии ожидания. Примерами тому может служить очередь покупателей у касс большого магазина, группа пас-

простаивает. При этом в первом случае оценивается система с позиции «клиента», тогда как во втором оценивается система с точки зрения ее загруженности.

сажирских самолетов, ожидающих разрешения на взлет в аэропорте, ряд вышедших из строя станков и механизмов, поставленных в очередь для починки в ремонтном цехе предприятия и так далее.

Избежать ситуации ожидания чаще всего не удается, но можно сократить время ожидания до какого-то терпимого предела.

Встречающийся на каждом шагу феномен ожидания чаще всего является прямым следствием вероятностного характера возникновения потребности в том или ином виде обслуживания и разброса показателей соответствующих обслуживающих систем. Действительно, ни время возникновения потребностей в обслуживании, ни продолжительность обслуживания, как правило, заранее неизвестны.

Цель изучения режима функционирования обслуживающей системы в условиях, когда фактор случайности является существенным, контролировать некоторые количественные показатели функционирования систем массового обслуживания. Такими показателями, в частности, являются среднее время пребывания клиента в очереди или доля времени, в течение которой обслуживающая система простаивает. При этом в первом случае мы оцениваем систему с позиции «клиента», тогда как во втором случае мы оцениваем степень загруженности обслуживающей системы. На интуитивном уровне понятно, что чем больше время ожидания заявки в очереди на обслуживание, тем меньше доля времени простаивания системы обслуживания и наоборот, чем меньше время пребывания требова-258

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [ 83 ] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]