/, то доход составляет г(х). Стоимость отлова х форелей в течение года есть функция с(х, Ь) от х - количества вылавливаемых форелей и b - количество форелей на начало года. Конечно, форель размножается. Предположим, что количество форелей к началу каждого года возрастает в d раз по сравнению с количеством на конец предыдущего. Величина мультипликативного коэффициента d есть дискретная случайная величина. Вероятность конкретного значения d есть q{d). Предположим также, что в начале первого года в озере 10 ООО форелей. Применяя рекурсию по методу динамического программирования, определить план отлова, который максимизирует суммарную чистую прибыль за период Глет.
Решение.
Как и в детерминированном случае, в качестве этапов мы принимаем годы. На каждом этапе владелец озера принимает решение относительно размера отлова в текущем году. Это количество будем обозначать х.
Для принятия оптимального решения на этапе / он должен знать количество особей на начало текущего года - fe,. Другими словами, - состояние популяции на начало этапа /.
Определим функцию /(fej как максимальную ожидаемую чистую прибьшь, которую можно получить за период /, / + 1, Г, имея в начале этапа / состояние .
Схема дальнейшего решения данной задачи полностью совпадает с детерминированным случаем. Необходимо лишь внести изменения в основную рекуррентную формулу.
Поскольку после года Т прибьши уже не рассматриваются, то
f{hr) = ma x{r(xj) - , fe)},
где Q<xj. bj..
Далее на основании соотношения (7.1) получаем соотношение
f,(b,) = maK\r(x,)-c(x„b,) + Zg(d)f,,,(d(b,-х,))\, (7.7)
где 0<х,<Ь,. Выражение
представляет из себя математическое ожидание максимальной прибыли, которая может быть получена.в годы / + 1, Г.
Для того чтобы начать вычисления по приведенной схеме, вычислим fjibj) для всех возможных значений bj (от О до 10 ООО • (max(i/"). Далее, используя рекурсивное соотношение (7.7), проводим вычисления, пока не получим (10 ООО), которое будет достигаться при некотором
значении х\. Продолжая эту процедуру аналогичным образом, можно
получить все остальные элементы оптимального решения, а именно: * * * *
Глава 8 СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ
Многие важные оптимизационные задачи хорошо представимы в терминах сетевой интерпретации. В этой главе будут рассмотрены несколько конкретных сетевых моделей - задача о кратчайшем пути, задача о максимальном потоке, задача построения минимального остовно-го дерева, для которых построены специальные эффективные алгоритмы. Мы также рассмотрим задачу о потоке минимальной стоимости и покажем, что к ней сводятся такие задачи, как транспортная, задача о назначениях и многие другие. В начале главы остановимся на основных понятиях теории графов и сетей.
В заключение рассмотрим постановки некоторых задач оптимального распределения ресурсов на сетях и сетевых графиках как в детерминированном случае, так и при наличии неопределенных факторов.
8.1. Основные понятия теории сетей и графов
Граф, или сеть, определяется двумя множествами: множеством вершин и множеством дуг. Пусть М- множество вершин, aN- множество дуг графа. Дуга определяется упорядоченной парой вершин и интерпретируется как возможные направления перемещений между вершинами. Если граф содержит дугу (/,7), то возможно перемещение из вершины / в вершину j. Предположим, что вершины 1, 2, 3 и 4 (рис. 8.1) представляют некоторые города, а дуги - некоторые дороги, связывающие данные города. Тогда для данной сети М = {1,2,3,4}, а
iV = {(l,2),(2,3),(3,4),(4,3),(4,l)}.