назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [ 48 ] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


48

Но согласно (5.25)

Xi +Х3 =1 ООО ООО.

Следовательно, все условия (5.26)-(5.29) выполняются как строгие равенства. Решая полученные уравнения, находим xi = 1 ООО ООО, Х2 = О,

хз=0.

Найденный вектор (1000 ООО; 0; 0) удовлетворяет и остальным неравенствам и, следовательно, является ядром данной игры. Пример (игра с продажей земельного участка).

В данной игре вектор x = (xi,X2,x), являющийся дележом, удовлетворяет системе неравенств

Xi>10 000,(5.30)

Х2>0,(5.31)

хз>0,(5.32)

Х1+Х2+Хз=30 000 000.(5.33) Дележ X принадлежит ядру тогда и только тогда, когда выполнены также неравенства

х,+Х2>20 000,(5.34)

Х1+Хз>30 000,(5.35)

Х2+Хз>0,(5.36)

X,+Х2+Хз>30 000.(5.37)

Складывая неравенства (5.31) и (5.35), получаем х\ +Х2 +Х3 > 30000. Из (5.33) имеем х\ +Х2 +Х3 =30 000. Следовательно, соотношения (5.31) и (5.35) должны выполняться как строгие равенства, т.е.

Х2=0 и Х1+Хз=30 000.(5.38)

Из (5.36) теперь следует, что

Xj>20 000.(5.39)

Итак, для того, чтобы х принадлежал ядру, должны выполняться соотношения (5.38) и (5.39). Каждый вектор из ядра должен удовлетворять также условиям Х3 > О и х, < 30 ООО . С другой стороны, любой вектор,



удовлетворяющий (5.38), (5.39), Хз > О и х, < 30 ООО будет принадлежать ядру игры. Следовательно, любой вектор вида (Xj ;0;30000-х,), 20 ООО < Xl < 30 ООО принадлежит ядру игры.

Интерпретация ядра следующая. Игрок 3 перебивает предложение игрока 2 и покупает землю по цене (20 ООО < Xj < 30 ООО ). В этом случае игрок 1 получает выигрыш xj, а игрок 3 выигрыш 30 ООО - х. Игрок

2 не получает ничего. В этом примере ядро содержит бесконечное количество дележей.

5.4. Выбор оптимальной стратегии в условиях неопределенности (игры с природой)

5.4.1. Специфика ситуации полной неопределенности. Мы предполагали, что все участники игры имеют свои интересы, которые выражаются либо платежными матрицами (антагонистические игры, би-матричные игры), либо платежными функциями (игры п лиц). Однако так бывает далеко не всегда. Ситуации, при которой нам либо ничего не известно об интересах второй стороны (или сторон), либо эти интересы действительно отсутствуют (второй игрок - «природа»), характеризуются как ситуации принятия решений в условиях полной неопределенности (или игры с «природой»). Естественно, что термин «природа» употребляется здесь в некотором символическом смысле как обозначение некой действительности, мотивы проявления которой нам неизвестны.

Как мы отмечали, теория игр - это математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников. Поэтому тот факт, что в рассматриваемой ситуации вторая сторона не имеет, с нашей точки, зрения каких-либо интересов, несколько меняет и наш подход к выбору своей оптимальной стратегии. То есть разумно рассмотреть несколько иные критерии, чем, например, принцип минимакса для антагонистической игры (игры с нулевой суммой) двух лиц.

Следует отметить и еще одно отличие. При применении принципа доминирования стратегий мы уже не можем производить исключение стратегий второго игрока («природы»), поскольку не имеем информации о его интересах, а следовательно, никаких разумных оснований для исключения его стратегий.



1.в случае минимаксного критерия Вальда мы выбираем такую стратегию, которая максимизировала бы наш выигрыш в самой неблагоприятной для нас ситуации.

2.В случае критерия максимакса мы выбираем в качестве оптимальной такую стратегия, для которой самый благоприятный случай дает самый большой выифыш.

3.Критерий Гурвица представляет из себя целое семейство критериев, зависящих от некоторого параметра а, смысл которого в определении баланса между подходами "крайнего пессимизма" и "крайнего оптимизма".

4.В случае критерия Сэвиджа мы выбираем такую стратегию, для которой наибольшее значение "недополучения" (до максимально возможного вьшгрыша) будет иметь наименьшее значение.

5.Смысл критерия Лапласа -максимизация ожидаемого выигрыша в предположении о равновероятности применения вторым игроком своих стратегий.

5.4.2. Критерии выбора оптимальной стратегии. Рассмотрим игру, заданную платежной матрицей первого игрока (матрица выигрышей первого игрока размера mxri) -

II * тхп

1.Максиминный критерий Вальда. Это тот самый критерий, который использовался при рассмотрении игр с нулевой суммой (антагонистических) игр. Он отражает «принцип гарантированного результата», то есть мы откладьгеаемся на самый неблагоприятный для нас случай и пытаемся выбрать такую стратегию, которая максимизировала бы наш выигрыш в самой неблагоприятной для нас ситуации. В математическом виде критерий записывается как

V - max min а...

l</<ml<7<w

В качестве оптимальной выбирается стратегия, на которой достигается значение max. Иногда этот критерий называют критерием «крайнего пессимизма».

2.Критерий максимакса. Этот критерий является в определенном смысле противоположным по своему смыслу предыдущему критерию. А именно, он предполагает рассмотрение не самого для нас неблагоприятного случая (критерий Вальда), а наоборот наиболее благоприятного. Выбирается в качестве оптимальной такая стратегия, для которой этот самый благоприятный случай дает самый большой выигрыш.

В математическом виде критерий записывается как

К = тах таха,у.

\<\<т \<}<п

В качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия, на которой достигается значение max. Иногда этот критерий назьшают критерием «крайнего оптимизма».

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [ 48 ] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]