Но согласно (5.25)
Xi +Х3 =1 ООО ООО.
Следовательно, все условия (5.26)-(5.29) выполняются как строгие равенства. Решая полученные уравнения, находим xi = 1 ООО ООО, Х2 = О,
хз=0.
Найденный вектор (1000 ООО; 0; 0) удовлетворяет и остальным неравенствам и, следовательно, является ядром данной игры. Пример (игра с продажей земельного участка).
В данной игре вектор x = (xi,X2,x), являющийся дележом, удовлетворяет системе неравенств
Xi>10 000,(5.30)
Х2>0,(5.31)
хз>0,(5.32)
Х1+Х2+Хз=30 000 000.(5.33) Дележ X принадлежит ядру тогда и только тогда, когда выполнены также неравенства
х,+Х2>20 000,(5.34)
Х1+Хз>30 000,(5.35)
Х2+Хз>0,(5.36)
X,+Х2+Хз>30 000.(5.37)
Складывая неравенства (5.31) и (5.35), получаем х\ +Х2 +Х3 > 30000. Из (5.33) имеем х\ +Х2 +Х3 =30 000. Следовательно, соотношения (5.31) и (5.35) должны выполняться как строгие равенства, т.е.
Х2=0 и Х1+Хз=30 000.(5.38)
Из (5.36) теперь следует, что
Xj>20 000.(5.39)
Итак, для того, чтобы х принадлежал ядру, должны выполняться соотношения (5.38) и (5.39). Каждый вектор из ядра должен удовлетворять также условиям Х3 > О и х, < 30 ООО . С другой стороны, любой вектор,
удовлетворяющий (5.38), (5.39), Хз > О и х, < 30 ООО будет принадлежать ядру игры. Следовательно, любой вектор вида (Xj ;0;30000-х,), 20 ООО < Xl < 30 ООО принадлежит ядру игры.
Интерпретация ядра следующая. Игрок 3 перебивает предложение игрока 2 и покупает землю по цене (20 ООО < Xj < 30 ООО ). В этом случае игрок 1 получает выигрыш xj, а игрок 3 выигрыш 30 ООО - х. Игрок
2 не получает ничего. В этом примере ядро содержит бесконечное количество дележей.
5.4. Выбор оптимальной стратегии в условиях неопределенности (игры с природой)
5.4.1. Специфика ситуации полной неопределенности. Мы предполагали, что все участники игры имеют свои интересы, которые выражаются либо платежными матрицами (антагонистические игры, би-матричные игры), либо платежными функциями (игры п лиц). Однако так бывает далеко не всегда. Ситуации, при которой нам либо ничего не известно об интересах второй стороны (или сторон), либо эти интересы действительно отсутствуют (второй игрок - «природа»), характеризуются как ситуации принятия решений в условиях полной неопределенности (или игры с «природой»). Естественно, что термин «природа» употребляется здесь в некотором символическом смысле как обозначение некой действительности, мотивы проявления которой нам неизвестны.
Как мы отмечали, теория игр - это математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников. Поэтому тот факт, что в рассматриваемой ситуации вторая сторона не имеет, с нашей точки, зрения каких-либо интересов, несколько меняет и наш подход к выбору своей оптимальной стратегии. То есть разумно рассмотреть несколько иные критерии, чем, например, принцип минимакса для антагонистической игры (игры с нулевой суммой) двух лиц.
Следует отметить и еще одно отличие. При применении принципа доминирования стратегий мы уже не можем производить исключение стратегий второго игрока («природы»), поскольку не имеем информации о его интересах, а следовательно, никаких разумных оснований для исключения его стратегий.
1.в случае минимаксного критерия Вальда мы выбираем такую стратегию, которая максимизировала бы наш выигрыш в самой неблагоприятной для нас ситуации.
2.В случае критерия максимакса мы выбираем в качестве оптимальной такую стратегия, для которой самый благоприятный случай дает самый большой выифыш.
3.Критерий Гурвица представляет из себя целое семейство критериев, зависящих от некоторого параметра а, смысл которого в определении баланса между подходами "крайнего пессимизма" и "крайнего оптимизма".
4.В случае критерия Сэвиджа мы выбираем такую стратегию, для которой наибольшее значение "недополучения" (до максимально возможного вьшгрыша) будет иметь наименьшее значение.
5.Смысл критерия Лапласа -максимизация ожидаемого выигрыша в предположении о равновероятности применения вторым игроком своих стратегий.
5.4.2. Критерии выбора оптимальной стратегии. Рассмотрим игру, заданную платежной матрицей первого игрока (матрица выигрышей первого игрока размера mxri) -
II * тхп
1.Максиминный критерий Вальда. Это тот самый критерий, который использовался при рассмотрении игр с нулевой суммой (антагонистических) игр. Он отражает «принцип гарантированного результата», то есть мы откладьгеаемся на самый неблагоприятный для нас случай и пытаемся выбрать такую стратегию, которая максимизировала бы наш выигрыш в самой неблагоприятной для нас ситуации. В математическом виде критерий записывается как
V - max min а...
l</<ml<7<w
В качестве оптимальной выбирается стратегия, на которой достигается значение max. Иногда этот критерий называют критерием «крайнего пессимизма».
2.Критерий максимакса. Этот критерий является в определенном смысле противоположным по своему смыслу предыдущему критерию. А именно, он предполагает рассмотрение не самого для нас неблагоприятного случая (критерий Вальда), а наоборот наиболее благоприятного. Выбирается в качестве оптимальной такая стратегия, для которой этот самый благоприятный случай дает самый большой выигрыш.
В математическом виде критерий записывается как
К = тах таха,у.
\<\<т \<}<п
В качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия, на которой достигается значение max. Иногда этот критерий назьшают критерием «крайнего оптимизма».