назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [ 46 ] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


46

в биматричных играх существует несколько критериев оптимальности. Важнейшими из них являются критерий оптимальности по Парето и критерий, выделяющий ситуации равновесия по Нэшу. Приведем лишь основные определения этих двух подходов.

1.Оптимальность по Парето. Пусть имеется несколько целевых функций /j(z),...,F„(z), каждую из которых хотят максимизировать. Вектор решения z* называется оптимальным по Парето (или эффективным), если не существует другого вектора z, для которого значения всех функций /(z) > /(z*) и хотя бы одно неравенство строгое.

Суть данного подхода состоит в том, что рассматриваются решения, которые лучше по одному критерию, но хуже по другому, и нет такого вектора, который бьш бы лучше сразу по всем критериям.

Множество эффективных векторов называется множеством Паре-то, а любой вектор этого множества - оптимумом по Парето.

В случае биматричной игры z = (х, у\ а в качестве целевых функций рассматриваются функции V{x,y) и W(x,y), заданные соотношениями (5.17).

2.Ситуации равновесия по Нэшу. Это такая пара смешанных стратегий

(х* ,у*), что для любых произвольных стратегий х и у выполняются

неравенства V(x*,у*)>У,у*и W{x*,y*)>w(x*,у

Смысл ситуации равновесия в том, что никому из игроков в одиночку не выгодно от нее отклоняться, его выигрыш при этом не увеличивается.

Справедлива следующая основная теорема теории биматричных игр.

Теорема 12 (теорема Нэша). Существует хотя бы одна ситуация равновесия в любой биматричной игре.

Замечание. В разных ситуациях равновесия (их может быть несколько) выигрыши игроков, вообще говоря, различны.

Рассмотрим понятия кооперативного и некооперативного равновесия на примере классической рыночной модели.

Владелец двух источников минеральной воды умирает и оставляет свое дело в наследство своим сыновьям, каждому по одному источнику. Рассмотрим первый случай, когда братья договариваются вести дело вместе, эксплуатируя оба источника как единый монополист. Стоимость эксплуатации каждого источника определяется формулой

С() = -+ -,(5.18)

3200 2



где q - количество минеральной воды, разлитой из данного источника. Если они решают реализовать на рынке количество Q, то рыночная цена определяется формулой

p{Q)=\-Q.(5.19)

Допустим, что обоим братьям известны соотношения (5.18) и (5.19). Какое количество минеральной воды они станут производить? Если они будут максимизировать свою совместную прибыль (случай монополии), они будут

максимизировать функцию piQ) Q-C{Q), которая выражает прибыль как разность между доходом реализации и издержками производства. В нашем случае эта функция имеет вид

P{Q)Q-C{Q) = {\-Q)Q-

3200

Дифференцируя функцию по Q, находим, что ее максимальное значение достигается при объеме выпуска 2тах = 13. Соответствующая прибьшь в этом случае равна 1/6-1/3200, а соответствующая рыночная цена будет равна

P(2max) = Pmax =--

Рассмотрим теперь ситуацию, когда сотрудничество по каким-либо причинам не получилось, и каждый из братьев приступает к эксплуатации своего источника самостоятельно.

Каковы количества и 2 которые братья станут производить каждый на своем источнике?

Каждый из братьев (игроков) в данном случае выбирает стратегию из отрезка [0,1]. Итоговая рыночная цена будет определяться соотношением 1""(?1 +?2) так как теперь q -qiCTh совместная поставка товара на рынок. Подставляя эту цену в формулу прибыли, мы получаем выигрыш первого игрока по формуле

и выифыш второго соответственно по формуле



Как мы видим, выигрыш каждого из игроков зависит не только от выбранной им стратегии, но и от стратегии другого игрока.

Нам необходимо найти такую пару стратегий (*,2)» что никому из игроков будет невыгодно отклоняться, иными словами найти ситуацию некооперативного равновесия.

Дифференцируя л- по переменной qi и л2 по переменной q2 и приравнивая производные нулю, получим систему линейных уравнений:

?1 3 ,

решением которой являются i* = 2* = Z"- Пара стратегий (1/4,1/4) и есть ситуация некооперативного равновесия. Соответствующая рьшоч-ная цена будет равна p{ql,q*2) = 1/2. Таким образом, из-за отсутствия согласованности рыночная цена упала с 2/3 до 1/2

Дадим формальные определения для введенных понятий для случая игры п лиц.

Оптимальная стратегия для коалиции гарантирует с одной стороны, что сумма индивидуальных выигрышей не будет меньше того, что может себе обеспечить коалиция в целом, а с другой стороны, что выифыш каждого игрока не должен бьпь меньше того количества, которое он может себе обеспечить самостоятельно.

53.3. Введение в теорию игр п лиц. Во многих реальных ситуациях в процессе принятия решений участвует более двух игроков. Рассмотрим случай, когда участников игры трое или более. Пусть А/ = {1, 2,..., «} - множество игроков, X, - стратегия /-го игрока, - множество стратегий /-Г0 игрока, yj(xi,...,x„) - функция выигрыша /-го игрока в зависимости от выбранных стратегий(ситуация игры). Такую игру будем на-

зывать игрой п лиц. Введем определения характеристической функции.

Определение. Функцию v(5) называют характеристической функцией для игры п лиц, если для любого подмножества S множества игроков N (S <zN) v(.S) - максимальный суммарный гарантированный выигрыш игроков подмножества S при условии их оптимальных совместных действий. Или в математическом виде

F(5) = max min Z/iCivJ.

ieS i«S

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [ 46 ] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]