в биматричных играх существует несколько критериев оптимальности. Важнейшими из них являются критерий оптимальности по Парето и критерий, выделяющий ситуации равновесия по Нэшу. Приведем лишь основные определения этих двух подходов.
1.Оптимальность по Парето. Пусть имеется несколько целевых функций /j(z),...,F„(z), каждую из которых хотят максимизировать. Вектор решения z* называется оптимальным по Парето (или эффективным), если не существует другого вектора z, для которого значения всех функций /(z) > /(z*) и хотя бы одно неравенство строгое.
Суть данного подхода состоит в том, что рассматриваются решения, которые лучше по одному критерию, но хуже по другому, и нет такого вектора, который бьш бы лучше сразу по всем критериям.
Множество эффективных векторов называется множеством Паре-то, а любой вектор этого множества - оптимумом по Парето.
В случае биматричной игры z = (х, у\ а в качестве целевых функций рассматриваются функции V{x,y) и W(x,y), заданные соотношениями (5.17).
2.Ситуации равновесия по Нэшу. Это такая пара смешанных стратегий
(х* ,у*), что для любых произвольных стратегий х и у выполняются
неравенства V(x*,у*)>У,у*и W{x*,y*)>w(x*,у
Смысл ситуации равновесия в том, что никому из игроков в одиночку не выгодно от нее отклоняться, его выигрыш при этом не увеличивается.
Справедлива следующая основная теорема теории биматричных игр.
Теорема 12 (теорема Нэша). Существует хотя бы одна ситуация равновесия в любой биматричной игре.
Замечание. В разных ситуациях равновесия (их может быть несколько) выигрыши игроков, вообще говоря, различны.
Рассмотрим понятия кооперативного и некооперативного равновесия на примере классической рыночной модели.
Владелец двух источников минеральной воды умирает и оставляет свое дело в наследство своим сыновьям, каждому по одному источнику. Рассмотрим первый случай, когда братья договариваются вести дело вместе, эксплуатируя оба источника как единый монополист. Стоимость эксплуатации каждого источника определяется формулой
С() = -+ -,(5.18)
3200 2
где q - количество минеральной воды, разлитой из данного источника. Если они решают реализовать на рынке количество Q, то рыночная цена определяется формулой
p{Q)=\-Q.(5.19)
Допустим, что обоим братьям известны соотношения (5.18) и (5.19). Какое количество минеральной воды они станут производить? Если они будут максимизировать свою совместную прибыль (случай монополии), они будут
максимизировать функцию piQ) Q-C{Q), которая выражает прибыль как разность между доходом реализации и издержками производства. В нашем случае эта функция имеет вид
P{Q)Q-C{Q) = {\-Q)Q-
3200
Дифференцируя функцию по Q, находим, что ее максимальное значение достигается при объеме выпуска 2тах = 13. Соответствующая прибьшь в этом случае равна 1/6-1/3200, а соответствующая рыночная цена будет равна
P(2max) = Pmax =--
Рассмотрим теперь ситуацию, когда сотрудничество по каким-либо причинам не получилось, и каждый из братьев приступает к эксплуатации своего источника самостоятельно.
Каковы количества и 2 которые братья станут производить каждый на своем источнике?
Каждый из братьев (игроков) в данном случае выбирает стратегию из отрезка [0,1]. Итоговая рыночная цена будет определяться соотношением 1""(?1 +?2) так как теперь q -qiCTh совместная поставка товара на рынок. Подставляя эту цену в формулу прибыли, мы получаем выигрыш первого игрока по формуле
и выифыш второго соответственно по формуле
Как мы видим, выигрыш каждого из игроков зависит не только от выбранной им стратегии, но и от стратегии другого игрока.
Нам необходимо найти такую пару стратегий (*,2)» что никому из игроков будет невыгодно отклоняться, иными словами найти ситуацию некооперативного равновесия.
Дифференцируя л- по переменной qi и л2 по переменной q2 и приравнивая производные нулю, получим систему линейных уравнений:
?1 3 ,
решением которой являются i* = 2* = Z"- Пара стратегий (1/4,1/4) и есть ситуация некооперативного равновесия. Соответствующая рьшоч-ная цена будет равна p{ql,q*2) = 1/2. Таким образом, из-за отсутствия согласованности рыночная цена упала с 2/3 до 1/2
Дадим формальные определения для введенных понятий для случая игры п лиц.
Оптимальная стратегия для коалиции гарантирует с одной стороны, что сумма индивидуальных выигрышей не будет меньше того, что может себе обеспечить коалиция в целом, а с другой стороны, что выифыш каждого игрока не должен бьпь меньше того количества, которое он может себе обеспечить самостоятельно.
53.3. Введение в теорию игр п лиц. Во многих реальных ситуациях в процессе принятия решений участвует более двух игроков. Рассмотрим случай, когда участников игры трое или более. Пусть А/ = {1, 2,..., «} - множество игроков, X, - стратегия /-го игрока, - множество стратегий /-Г0 игрока, yj(xi,...,x„) - функция выигрыша /-го игрока в зависимости от выбранных стратегий(ситуация игры). Такую игру будем на-
зывать игрой п лиц. Введем определения характеристической функции.
Определение. Функцию v(5) называют характеристической функцией для игры п лиц, если для любого подмножества S множества игроков N (S <zN) v(.S) - максимальный суммарный гарантированный выигрыш игроков подмножества S при условии их оптимальных совместных действий. Или в математическом виде
F(5) = max min Z/iCivJ.
ieS i«S