назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [ 45 ] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


45

а игрока 2

Q(y)= J\l2(y)-

Здесь через (х) обозначена ступенчатая функция

0,при л: < а

1,при х > а

5.3. Игры двух лиц с ненулевой суммой: понятие о кооперативных играх

5.3.1. Игры двух лиц с постоянной суммой. Даже если игра двух лиц не является игрой с нулевой суммой, интересы игроков могут быть антагонистические.

Определение. Игра двух лиц называется игрой с постоянной суммой, если для любых двух стратегий игроков сумма выигрышей игроков имеет постоянное значение С.

Игра с нулевой суммой соответствует случаю С = 0. Оказывается, что для случая игр двух лиц с постоянной суммой справедливы те же методы нахождения оптимальных стратегий, что и для игр двух лиц с нулевой суммой.

5.3.2. Критерии выбора оптимальных стратегий для игр с ненулевой суммой. Рассмотрим пример игры двух лиц, каждый их которых выбирает одну из двух стратегий: положить в коробку 10 фунтов или не положить ничего. Каждый из игроков выбирает свою стратегию независимо от стратегии другого игрока. После того как игроки приняли решения относительно своих стратегий, рефери прибавляет еще 50% к сумме, которая находится в коробке и делит эту сумму пополам между игроками. Например, если каждый из игроков положил по 10 фунтов, то рефери добавляет еще 10, и каждый получает по 15 фунтов.

Результаты выигрышей можно представить в виде матрицы (табл. 5.17)

Оптимальность по Парето.

Рассматриваются решения, которые лучше по одному критерию, но хуже по другому, и нет такого вектора, который был бы лучше сразу по всем критериям.

Ситуации равновесия по Нэ-шу. Смысл ситуации равновесия в том, что никому из игроков в одиночку не выгодно от нее отклоняться, его выигрыш при этом не увеличивается.



Таблица 5.17

Игрок 1 / Игрок 2

10 фунтов

0 фунтов

10 фунтов

-2.5/7.5

0 фунтов

7.5/-2.5

Предположим, что игроки имеют возможность договариваться. Тогда наиболее выгодная для них стратегия - это положить по 10 фунтов. В этом случае они выигрывают по 5 фунтов.

Теперь предположим, что игроки выбирают стратегии самостоятельно и кооперация между ними не возможна. Рассмотрим первого игрока. Он размышляет следующим образом: «Если второй игрок решит положить 10 фунтов, какова лучшая стратегия для меня? Если я тоже положу 10 фунтов, то мой выигрыш составит 10 фунтов; если же я не положу ничего, то мой выигрыш составит 7,5 фунтов. Таким образом, лучшая стратегия в этом случае - не класть ничего. Теперь предположим, что мой противник ничего не положил, тогда если я тоже ничего не положу, то ничего и не потеряю; однако если я положу 10 фунтов, то потеряю в этом случае 2,5 фунтов. Таким образом, и в этом случае предпочтительнее стратегия «не класть ничего». Аналогичные рассуждения можно провести и с точки зрения второго игрока. Таким образом, наиболее разумной стратегией для обоих игроков будет стратегия «ничего не класть». А ожидаемый выигрыш в этом случае равен 0.

Теперь рассмотрим еще один пример, в котором имеются два продавца, продающие определенный товар на рынке. Оба из них знают, что чем выше цена, тем меньше общий объем продаж. Для простоты предположим, что каждый из них может продать либо 400 единиц некоторого товара, либо 100 единиц. Известно, что при продаже 800 единиц на рынке складывается цена равная 100 фунтам, при 500 единицах - 200 фунтов, а при объеме продаж 200 единиц - 500 фунтов. Матрица выигрышей продавцов показана в нижеследующей таблице 5.18.

Таблица 5.18

Продавец 1 / Продавец 2

40 000/40 ООО

80 000/20 ООО

20 000/80 ООО

50 000/50 ООО



Если бы игроки имели возможность и желание согласовывать свои действия, то они решили бы продать по 100 единиц и получить прибыль по 50 ООО каждый.

Предположим теперь, что по каким-либо причинам они принимают решения независимо друг от друга. Каковы оптимальные стратегии для игроков в этом случае? Пара стратегий (400,100) не является ситуацией равновесия, так как в этом случае второму игроку вьподно изменить свою стратегию на 400 и тем самым увеличить свой вьшгрьпп с 20000 до 40 ООО. Если рассмотреть пару стратегий (100,100), то она также не является ситуацией равновесия, поскольку каждому отдельному игроку выгодно поменять свою стратегию на 100 и получить вместо 50 ООО выигрыш в 80 ООО. Если же мы рассмотрим пару стратегий (400,400), то, как легко заметить, отклонение каждого отдельного игрока является для него невьпюдным. Такую ситуацию мы назьшаем сиггуацией некооперативного равновесия.

Таким образом, основным определяющим свойством ситуации некооперативного равновесия является невыгодность для каждого отдельного игрока отклоняться от своей стратегии, входящей в ситуацию равновесия. В этом случае речь не идет о каких-либо договоренностях между игроками и поэтому такое равновесие называется некооперативным. Напротив, когда возможность достигать определенные договоренности между игроками существует, игроки стараются найти такую пару стратегий, для которой не существует другой пары, одновременно улучшающей выигрыши обоих игроков. Такая пара стратегий называется ситуацией кооперативного равновесия. Таковыми являются пары стратегий (10,10) в первой игре и (100,100) во второй.

Оба примера игр можно отнести к так назьшаемым биматричным играм, суть которых состоит в следующем. Пусть первый ифок имеет ш чистых стратегий, а второй игрок имеет п чистых стратегий. Вьшгрьпли первого игрока при различных выборах стратегий игроками задаются матрицей

= - платежная матрица первого игрока, а второго игрока матрицей А = - платежная матрица второго игрока. На практике решение

в чистых стратегиях для биматричных игр встречается крайне редко, поэтому решение ищется в смешанных стратегиях, которые определяются так же как и для матричных игр соотношениями (5.6) и (5.7). Среднеожидаемые выигрыши игроков в этом случае определяются соотношениями

V{x,y) = ZZa\x,y и W{x,y) = Y.i:alx,y,(5.17)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [ 45 ] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]