1.3. Формы задач линейного программирования
Все три формы задач линейного программирования: стандартная, каноническая и общая эквивалентны в том смысле, что каждую из них можно простыми преобразованиями привести к любой из двух остальных.
Мы рассмотрели примеры задач линейного программирования, на основании которых можно представить три формы задач линейного профам-мирования в зависимости от наличия офаничений разного типа
Стандартная задача линейного профаммирования
<fe/,/= 1, W,
Xj>0,J=\, ,..,п.
Стандартная задача имеет важное значение ввиду того, что большое число прикладных моделей сводится к этому классу задач линейного профаммирования.
Каноническая задача линейного программирования.
max i;c,x,, /=1
/= 1, W,
Xj>Oj = 1,
Основные вычислительные методы (симплекс-метод и его модификации) решения задач линейного профаммирования разработаны именно для канонической задачи.
Общая задача линейного программирования. Необходимо максимизировать (или минимизировать) линейную функцию от п переменных Х1,...,х„вида
при Офаничениях
сл:, max (или min) /=1
TayXj ubii== 1,2, У-1
(1.14)
(1.15) 19
£ах =bii = K+\, .,.,т(1.16)
xi>0,...,x,>0.(1.17)
Здесь к <т, г <п. Понятно, что стандартная задача получается как частный случай общей при к = т, г = п\ каноническая - при fc = О, г = «.
Все три перечисленные формы задач эквивалентны в том смысле, что каждую из них можно простыми преобразованиями привести к любой из двух остальных. Поэтому если имеется способ решения одной из этих трех задач, то тем самым может быть решена и любая другая из двух оставшихся. Покажем, например, как можно привести стандартную задачу к канонической форме. Для этого введем в рассмотрение новые переменные Z\,.,.,Zm, количество которых совпадает с числом ограничений в стандартной задаче и рассмотрим следующую каноническую задачу:
max (cixx + С2Х2+ ... + + О • Zi +... + 0 • Zm) аих\ +ai2X2+ ... + a\rbXn-Zx = bi
Cl2lX\ + 22x2 + ... + a2nXn + Z2 = Z72
Clm\X\ + am2X2- ... ClmnXnZm = Ь m
Xi>0,X2>0, ...,x„>0 Zi>0,Z2>0,...,Z;„>0.
Пусть (x*i,..., Z*i,..., Z*;;,,) решение сформулированной канонической задачи. Тогда решением исходной стандартной задачи является
вектор (х*1,х*2,...,х*«).
Докажем это, показав вначале, что вектор (x*i, х%..., х*„) является допустимым. Это вытекает из того, что его координаты неотрицательны, как следует из канонической задачи, и так как Z*i,..., Z*;„ неотрицательны, то из равенств
aaxi + ааХ2 + ... + + Z* = b, (/ = 1,2,..., т)
следует
axi*+ а,2Х2* + +atrtXn* <Ь, (/= 1,2, ...,w).
Предположим, что х* = (xiх„*) не является оптимальным решением. В этом случае существует значение х = (xi,..., х„), которое удовле-
творяет всем ограничениям стандартной задачи, на этом решение целевой функции принимает большее решение, чем на решении х*, т.е.
C\Xi + С2Х2 + ... + Сгп > CiXi* + С2Х2* + ... + Сггг*
Покажем, что это невозможно, для чего построим решение, удовлетворяющее ограничениям канонической задачи и доставляющее большее значение целевой функции, чем на (xiZiZm% что будет противоречить оптимальности последнего.
Рассмотрим вектор (xi,..., х„, Zi,..., Z где Z/ = - (aXi + ... + ал) (/= l,...,/w).
Так как х = (xi,...,х„) удовлетворяет ограничениям стандартной задачи, то Z/ >0 (/ = 1,..., т). Получаем, что вектор (xi,..., х,„ Zi,..., Z;„) удовлетворяет всем ограничениям канонической задачи и при этом с\Х\ + С2Х2 + ... + СпХп > c\Xi* + С2Х2 *+...+ СпХп*, что противоречит оптимальности вектора (xi*,..., х„, *, Zi*,..., Z;„*). Полученное противоречие доказывает тот факт, что стандартная задача линейного программирования может быть сведена к канонической.
Для того чтобы свести каноническую задачу к стандартной, необходимо каждое ограничение вида:
(Я/iXi +а,2Х2+ ,..+air„ = bi
записать двумя следующими неравенствами
апХ1 + ааХ2 + ,..+ainXn<bi
-anxi - ааХ2 - ... - atXri -bt.
Если на переменную Х/ общей задачи не накладывается ограничение неотрицательности, то для того, чтобы общую задачу свести к стандартной, необходимо ввести новые переменные ut >0 и v, > О и положить X/ = W/-V,. Тот случай, когда необходимо минимизировать линейную целевую функцию вида ciXi + С2Х2 + ... + сх легко свести к задаче максимизации, для чего необходимо рассмотреть задачу нахождения максимума функции
~CiXi-C2X2~...-C„.
Рассмотрим примеры задачи линейного программирования, приведенные ранее. Задача о диете и задача выбора оптимальной производственной программы являются стандартными задачами линейного программирования, а задача о раскрое материалов и транспортная задача - канонические задачи линейного программирования.