решение двойственной задачи на примере пары взаимно двойственных задач (4.41) и (4.42).
Пусть изменение запасов ресурсов заключается в следующем: AZ?i = -2, AZ?2 = 1; AZ?3 = 5, АЪ = 19. Эти изменения находятся в пределах устойчивости двойственных оценок. Это легко проверить, подставив Ai, AZ?2, Аз, AZ?4 в систему неравенств (4.41). Вследствие этого решение двойственной задачи Y* =(/»»55») останется без изменения. На основании теоремы (4.5) положительным значениям переменных •1 ~ ~/ оптимального решения двойственной задачи соответствуют нулевые значения переменных прямой задачи х=0 , х=0. Поэтому остальные переменные оптимального решения исходной задачи можно найти, исходя из системы ограничений, в которой Хз = О, х=0,
а в правых частях указаны скорректированные запасы материально-сырьевых ресурсов:
й; = й,+АЙ, (/ = 1,2,3,4).
Определим Ь- и запишем систему ограничений fej = 18 - 2 = 16, =16 + 1 = 17, йз=5 + 5 = 10, =21 + 19 = 40
Xi +3x2 =16 2xi +Х2 =17 Х2 +Х5 =10 Зх,+х,=40,
откуда Xj = 7, Х2 = 3 , Х5 = 7, х = 19. Соответствующее значение максимума целевой функции прямой задачи равно: АТах = 2- 7 + 3- 3 = 23.
Таким образом, максимальный размер прибьши (выручки) составит AF = 23 руб. при оптимальном плане производства х* = (7,3,0,0,7,19).
Глава 5 ТЕОРИЯ ИГР
Очень часто в задачах бизнес-анализа два или более лиц принимают решения независимо друг от друга, и решение, принятое каждым конкретным лицом, влияет на результаты остальных. В данной главе мы более подробно остановимся на ситуации двух игроков, имеющих противоположные интересы. Кратко рассмотрим ситуацию большего числа игроков, а также случай неантагонистических интересов между игроками.
5.1. Основные понятия теории игр
Теория игр - это матема- 1Теория игр- это математическая
тическая дисциплина, иссле-дисциплина, исследующая ситуации, в
дующая ситуации, в которыхкоторых принятие решений зависит от
принятие решений зависит отнескольких участников. Интересы уча-
нескольких участников. v j
Jiстников могут быть как антагонистиче-
ские (полностью противоположные) так и неантагонистические. В последнем случае может исследоваться вопрос о наиболее эффективных совместных действиях (кооперативные игры).
Игра - это упрощенная формализованная модель реальной ситуации, описывающая действия двух или более участников. Предполагается, что известны варианты действий сторон (стратегии), исход игры для каждого участника в случае выбора конкретных действий всеми участниками, степень и порядок информированности каждого участника игры о поведении всех других участников.
Приведем некоторую классификацию игр в зависимости от различных параметров.
Количество игроков. Различаются игры двух лиц (2 участника игры) и игры п лиц (число участников более 2).
Количество стратегий. Если каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий в игре, то игра называется конечной. Если число стратегий хотя бы одного из участников игры бесконечно, то игра называется бесконечной.
Соотношение интересов участников. Игры с нулевой суммой - сумма выигрышей участников всегда равна нулю (антагонистические интересы - антагонистические игры). Игры с ненулевой суммой.
Возможности взаимодействия участников. С этой точки зрения можно рассматривать коалиционные (допускается образование коалиций между участниками), бескоалиционные (коалиции не допускаются) и кооперативные игры (коалиции определены заранее).
Тип функции выигрыша. По данному критерию традиционно рассматриваются такие классы игр, как матричные (игра 2-х лиц, выигрыш одного из игроков (соответственно проигрыш другого) задается в виде матрицы), би-матричные (игра 2-х лиц, выигрыш каждого из игроков задается своей матрицей), непрерьгоные (функция выигрьш1ей является непрерывной функцией на множестве стратегий каждого из игроков), выпуклые (функция вьшгрышей есть вьшуклая функция на множестве стратегий) и так далее.
Количество ходов. Если после одного хода каждого игрока игра заканчивается и происходит распределение выигрышей, то игра называется одношаговой. В противном случае игра называется многошаговой (позиционной, например, шахматы).
Кроме этого вьщеляются различные классы игр по иным признакам (статистические, дифференциальные и многие другие). В частности рассматриваются так называемые «игры с природой», т.е. игры, когда в качестве второго игрока выступает не игрок с противоположными интересами, а некоторая сторона с «неопределенными» интересами (природа). В этом случае для поиска оптимальных стратегий используются наряду с принципом гарантированного результата и другие критерии, например Максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, которые рассмотрим далее.
5.2. Игры двух лиц с нулевой суммой
5.2.1. Основные предположения
игре с нулевой суммой сумма
выигрышей игроков всегда равна нулю. Платильщиком вьшгрыша первого игрока является второй игрок. Таким образом, какая-либо кооперация между ними не возможна
для игр двух лиц с нулевой суммой. Игра двух лиц с нулевой суммой задается следующими условиями:
V имеются два игрока, стратегии
одного из которых расположены по строкам (первый игрок), а другого по столбцам (второй игрок);