назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


32

Таким образом, объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов, т.е. в оптимальном плане производства дефицитные (т.е. полностью используемые) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные - нулевые оценки.

По оптимальному плану в исходной задаче следует производить оба вида продукции (х* = 6, Х2 = 4), и превышение затрат на ресурсы над ценой реализации равно нулю (>5 = О, у1=0). Если бы затраты на ресурсы превышали цену изготавливаемой из них продукции, например, продукции второго вида, т.е. если бы д > О, то на основании теоремы 4.5

оптимальное решение соответствующей переменной Х2 = О, и в этом случае по оптимальному плану производить продукциют.е.

продукцию второго вида, не следует.

Таким образом, в оптимальный план производства могут попасть только рентабельные (неубыточные) виды продукции при условии, что критерий рентабельности состоит в том, что цена продукции не превышает затрат на потребляемые при ее изготовлении материально-сырьевые ресурсы. Следующая теорема отвечает на вопрос о том, что же показывают численные значения объективно обусловленных оценок ресурсов.

Третья теорема двойственности. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны значениям частных производных линейной функции F =(рб2-т) ПО соответствующим аргументам. Т.е.

= у;,(/ = 1,2,...,т).(4.44)

Доказательство, Используем для доказательства табл. 4.1 взаимно-двойственных задач (4.1)-(4.3) и (4.4)-(4.6), В соответствии с (4.4), оптимальное значение целевой функции

Изменим незначительно значение /-го ресурса на величину , при этом оптимальное решение двойственной задачи не изменится, (на рис. 4.1 для случая двух переменных оптимальное решение соответствует точке 5), т.е. yl,y*2,.-,ylj прежние, а изменится только линейная функция (на рис. 4.1 для случая Z = Ьу + Й2>2 изменится наклон линии уровня).



Рис, 4J

Тогда изменение минимальных затрат на ресурсы можно выразить следующим образом:

Д* = (*1>1* + Ъу + ...(й, + Щ) +... + )-

-{}>\У\ + бзДг + -+ь,у]+...+й>;;,)=АЬУ,

т.е. AZ* = Isby]. Учитывая, что по первой теореме двойственности тах ~ min максимальная прибыль (выручка) также увеличится на

тах == ЪУ, откуда

Уг =

(4.45)

Существенным в этой ситуации является то, что последнее соотношение остается верным и для достаточно малых изменений Afe,, так как в противном случае могут существенно измениться наклон линии уровня (см. рис. 4.1) и оптимум в силу того что минимум целевой функции Z может перейти в другую угловую точку, что приведет к изменению оптимального решения.

Понятие достаточной малости приращения запаса ресурса Afe, можно формализовать, потребовав, чтобы Afe стремилось к нулю. Из соотношения (4.45) получим доказываемую формулу (4.44).

Из соотношения (4.45) следует, что объективно обусловленные оценки показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль (выручка) от реализации продукции при изменении запаса соответствующего материально-сырьевого ресурса на одну единицу.



Вернемся к паре взаимно двойственных задач, рассмотренных ранее.

F = + 32 max

JCi +3jc2 <18 2jCi +2 <16

jc2 <5

3xi<21

Xi > 0, 2 > 0

Z = 18>i + \6у2 + 5>з + 2\y -> min

>,+2>2+3>4>2 [3>;i+>2+>3>3

(4.46)

(4.47)

>0, / = 1,2,3,4.

Решая задачу на минимум, получим / =(>i\>2»>3»>4) = (%})

т.е. при увеличении (уменьшении) запаса ресурсов Ь\ или на единицу максимальная прибьшь (выручка) увеличивается (уменьшается) соответственно на и руб., а при изменении запасов ресурсов 63, Й4 -

не изменится.

В задаче I из приведенной пары задач (4.46), (4.47) исследуем ситуацию, когда возможно расширение производственной программы за счет выпуска дополнительного, третьего вида продукции. Рассмотрим, как могут быть использованы двойственные оценки для составления оптимальных затрат и результатов производства.

Пусть затраты ресурсов на выпуск третьего вида продукции составляют (313 = единицам ресурса первого вида, 23 = 2 единицам ресурса второго вида, а = 4 единицам ресурса третьего вида, а = 1 единице ресурса четвертого вида; цена единиц продукции третьего вида С3 = 3 . Определим, даст ли дополнительную прибьшь включение третьего вида продукции в программу производства. Для ответа на этот вопрос можно видоизменить целевую функцию и ограничения задачи (4.46) Но можно определить целесообразность включения третьего вида продукции в производственную программу, используя объективно обусловленные оценки ресурсов, для чего сопоставим дополнительные затраты на вы-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]