назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [ 31 ] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


31

Z = min(l8>i 4-16>2 +5>з +21>;4)

(4.42)

Xl +3x2 <18 2x, +X2 <16

>,+2>2+3>4>2

X2 <5

3xi<21

X, >0, X2 >0 >0, / = 1,2,3,4.

Ha основании выражения (4.35) установим следующее соответствие между переменными:

Решая каждую из задач симплекс-методом и выражая значения целевой функции через неосновные переменные на последнем шаге получим:

В исходной задаче F = 24-4/x,-3/

5 3 /5 -4

при оптимальном базисном решении =(6,4,0,0,1,3)

В двойственной задаче Z = 24 + y,+3y,+6y,+4y,

z{y-) = Z =24

при оптимальном базисном решении

Компоненты оптимального решения двойственной задачи у\=У yl-y/, у1 = 0 , у*4=0, >5 = О, у1=0 равны (по абсолютной величине) коэффициентам при соответствующих переменных целевой функции (4.41), которую можно представить в виде F = 24 - 4X3 - Х4 - 0X5 - Ох - Oxj - 0X2, а компоненты оптимального

решения исходной задачи х* = 6, Х2 = 4, Х3* = О, Х4 = О, Х5 = 1, х = 3 равны коэффициентам при соответствующих переменных линейной функции (4.42), которую можно представить в виде:

Z = 24 + 65 + 4>б + 0>1 + 0>2 + 1>з + 3>;4.

В случае если в одной из взаимодвойственных задач нарушается единственность оптимального решения, то оптимальное решение двойственной задачи вырождено. Это связано с тем, что при нарушении



единственности оптимального решения исходной задачи в выражении целевой функции через неосновные переменные отсутствует хотя бы одна из основных переменных.

Используя теоремы двойственности, можно, решив симплексным методом исходную задачу, найти оптимальное решение двойственной задачи.

Рассмотрим следующий пример. Определим максимум целевой функции

при ограничениях:

-2xi +Х2 <-1 X, -4x2 -24 Xi + Х2 < 3 Xj + Х2 > 5

X, > О , Х2 > О .

Определим оптимальное решение для двойственной задачи и оптимум целевой функции двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Решение. Используя симплекс-метод, получим на последнем шаге оптимальное решение =(4,7,0,0,6,6) . Целевая функция на этом решении, выраженная через неосновные переменные, имеет вид F = 10-2/

/7X3-%х,, т.е. F,=10.

В данной задаче соответствие (4.35) между переменными прямой и двойственной задач имеет вид:

(4.43)

На основании первой теоремы двойственности Z- = F = 10. На основании второй теоремы двойственности и соотношения (4.43) оптимальное решение двойственной задачи Y* =0,,0,0,0,0. Такой метод решения, при котором сначала решается двойственная задача, а затем оптимум и оптимальное решение находится с помощью теоремы двойственности называется двойственным симплекс-методом. Этот метод может быть эффективен, если, например, первое базисное решение прямой задачи недопустимо, или когда число ограничений больше числа переменных.



4.3. Экономическая интерпретация объективно обусловленных оценок

Объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов, т.е. в оптимальном плане производства дефицитные ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные - нулевые оценки.

Компоненты оптимального решения двойственной задачи называют оптимальными (двойственными) оценками исходной задачи, которые также еще имеют название объективно обусловленных оценок [49].

Чтобы пояснить смысл этих оценок, вернемся к паре двойственных задач (4.41) и (4.42), уже рассмотренных нами, используя каноническую интерпретацию этих задач из табл. 4.1. Компоненты оптимальных решений этой задачи приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Компоненты оптимального решения прямой задачи

Число единиц продукции

Остатки ресурсов (в единицах объема)

гг г г г

Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации

Объективно обусловленные оценки ресурсов (условные цены ресурсов)

Компоненты оптимального решения двойственной задачи

В табл. 4.3 дополнительные переменные исходной прямой задачи , 4 5 6 представляющие согласно (4.36) разность между запасами , ресурсов и их потреблением, выражают остатки ресурсов. Дополнительные переменные двойственной задачи у, у, представляющие в соответствии с выражением (4.37) разность между затратами на ресурсы для производства из них единицы продукции и ценами Cj продукции

У = 1,2, выражают превышение затрат над ценой.

Ресурсы fej, 2 по оптимальному плану полностью использованы (Хз = О, Х4 = О), и объективно обусловленные оценки этих ресурсов ненулевые (= 4, УгУУ

Ресурсы йз, не полностью используются в оптимальном плане (Хз = 1, Х5 = 3) и объективно обусловленные оценки этих ресурсов (>з=0, К=0). 102

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [ 31 ] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]