Ограничения на производственные мощности задаются следующими неравенствами
<mT=l,...,iV.(1.6)
Кроме того, переменные
х,>0/=1,...,.(1.7)
Таким образом, задача выбора производственной программы, максимизирующей прибыль, заключается в выборе такого плана выпуска X = (xi,...,x„), который удовлетворял бы ограничениям (1.5)-(1.7) и максимизировал бы функцию (1.4).
В некоторых случаях предприятие должно поставить заранее оговоренные объемы продукции К, другим хозяйствующим субъектам и тогда в рассматриваемой модели вместо ограничения (1.7) может быть включено ограничение вида:
Xi> Vi /= 1, ...,п.
Задача о диете. Рассмотрим задачу составления душевого рациона питания минимальной стоимости, которое бы содержало определенные питательные вещества в необходимых объемах. Будем предполагать, что имеется известный перечень продуктов из п наименований (хлеб, сахар, масло, молоко, мясо и т.д.), которые мы будем обозначать буквами Fu.,.,Fn. Кроме того, рассматриваются такие характеристики продуктов (питательные вещества), как белки, жиры, витамины, минеральные вещества и другие. Обозначим эти компоненты буквами Nu.,.,Nm. Предположим, что для каждого продукта Fi известно (/ = 1,...,«) количественное содержание в одной единице продукта указанных выше компонент. В этом случае можно составить таблицу, содержащую характеристику продуктов:
F,F2...Fj.„F„
N2a2\a22...a2j ...aiN
Элементы этой таблицы образуют матрицу, имеющую т строк и п столбцов. Обозначим ее через Л и назовем матрицей питательности. Предположим, что мы составили рацион х = (xi, X2,...,х„) на некоторый период (например, месяц). Иными словами, мы планируем каждому человеку на месяц единиц (килограммов) продукта F\2 единиц продукта Fl и т.д. Нетрудно вычислить, какое количество витаминов, жиров, белков и прочих питательных веществ получит человек за этот период. Например, компонента N\ присутствует в этом рационе в количестве
aiixi + ai2X2+ ...
поскольку согласно условию в х\ единицах продукта F\ согласно матрице питательности содержится а\\Х\ единиц компоненты Nu к этому количеству добавляется порция axi вещества N\ из Х2 единиц продукта Fi и т.д. Аналогично можно определить и количество всех остальных веществ Ni в составляемом рационе (xi,..., х„).
Допустим, что имеются определенные физиологические требования, касающиеся необходимого количества питательных веществ в TV, (/ = 1,..., АО в планируемый срок. Пусть эти требования заданы вектором в = (в1,..., в„), /-Я компонента которого в, указывает минимально необходимое содержание компонента А, в рационе. Это означает, что коэффициенты х, векторах должны удовлетворять следующей системе ограничений:
aiixi +ai2X2+ ахггХп>вх
ацхх + а22Х2 + ... + ainXn >в2
Кроме того, из содержательного смысла задачи очевидно, что все переменные xi,...,x„ неотрицательны и поэтому к ограничениям (1.9) добавляются еще неравенства
Х1>0;х2>0, ...,х,>0.(1.10)
Учитывая, что в большинстве случаев ограничениям (1.9) и (1.10) удовлетворяет бесконечно много рационов, выберем тот из них, стоимость которого минимальна.
Пусть цены на продукты F\,.,.,Fn равны соответственно Следовательно, стоимость всего рациона х = (xi,..., х„) может быть записана в виде
с\х\ +С2Х2+ ... +с„-> min.(1.11)
Окончательно формулировка задачи о диете заключается в том, чтобы среди всех векторов х = (xi,...,х„), удовлетворяющих ограничениям (1.9) и (1.10) выбрать такой, для которого целевая функция (1.11) принимает минимальное значение.
Транспортная задача. Имеется m пунктов .Si,..., .S производства однородного продукта (угля, цемента, нефти и т.п.), при этом объем производства в пункте .S, равен а, единиц. Произведенный продукт потребляется в пунктах бь---» б« и потребность в нем в пункте Qj составляет ej единиц (/ = 1,..., «). Требуется составить план перевозок из пунктов Si (/ = 1,..., т) в пункты QjQ = 1,..., «), чтобы удовлетворить потребности в продукте bj, минимизировав транспортные расходы.
Пусть стоимость перевозок одной единицы продукта из пункта 5, в пункт равна с/, Будем далее предполагать, что при перевозке х/, единиц продукта из Si в Qj транспортные расходы равны с/х/,-
Назовем планом перевозок набор чисел х/, с/= 1,..., w; у = 1,...,«, удовлетворяющий ограничениям:
txij=ar, txij=bj(1.12)
Xij>0, 1 = 1,2, т; j = 1, .... гг.
Содержательный смысл уравнений (1.12) состоит в том, что из пункта
Si при плане х/,, вывозится во все пункты Qj объем X ij » который дол-жен быть равен запасу Л/. В пункт Qj поступает из всех пунктов Si сум-
марное количество JXy продукта, которое в точности должно быть рав-
но потребности bj.
При плане перевозок (х/,) транспортные расходы составят величину
I tcyXy(1.13)
У=1 /=1
Окончательное формирование транспортной задачи таково: среди всех наборов чисел (х/,), удовлетворяющих ограничениям (1.12), найти набор, минимизирующий (1.13).