назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27 ] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


27

4. Сформулируем двойственную задачу

Z = -y,+14 +3, -15 -min

при Офаничениях:

-У1-У2+Уз-У4 -1

3>,+4>2->3->4>3

у,>0, у,>0,у,>0, у,>0.

В рассмотренном примере в качестве исходной задачи линейного программирования рассматривадась стандартная задача линейного программирования.

Выясним, в каком виде может быть представлена двойственная задача для канонической задачи линейного программирования.

F = сх + С2Х2 +... + с„х„ -> max.

«тЛ + «т22 + - + «m»n = *m Х,>0, Х2>0,..., Х„>0.

(4.7)

Заменим каждое равенство Y*ijXj=b на два ajXj<b. и

-у , тогда задача (4.7) эквивалентна следующей задаче, ко-торую мы зададим в матричном виде.

maxXc,JCj /=1

АхйЬ -Ах<-Ь

(4.8)

Обозначив А =

вую запись задачи (4.8): 88

, ъ =

jc>0.

получаем в других обозначениях но-



Ax<b(4.9)

x>0.

Ясно, что (4.9) представляет собой стандартную задачу линейного профаммирования. Воспользовавшись правилом формирования двойственной задачи для стандартной задачи линейного профаммирования получим:

AV>c V>0,

где F = (, Г2,..., , , ,...5) - вектор 2т-мерного просфанства. Возвращаясь к прежним обозначениям имеем:

mm{{b,r)-{b,S))

Ar-AS>c(4.10)

г >0, 5>0,

где г = (г1,Г2,...,г), 5 = (5i,52,...5). Обозначим p = r-S.

Очевидно, что задача (4.10) эквивалентна следующей:

mintbiPi /=1

Ар>с,(4.11)

где на р уже не накладьгоается никаких дополнительных офаничений (типа неофицательности), поскольку р есть разница двух неотрицательных векторовРи8иэто никакой информации не несет.

Задача (4.11) называется двойственной канонической задачей (4.7).

4.2. Основные теоремы двойственности

Рассмофим некоторые свойства систем линейных неравенств вида Ах<Ь или в векторном виде:

{а,х)<Ь,, (а2)<Й2,..., М<Ь.(4.12)



II Если взаимно-двойственные 11 Пусть неравенство т системы ли-

задачи имеют непустое множество решений, то они имеют оптимальные решения, значения которых совпадают.

нейных неравенств (4.12) является неотрицательной линейной комбинацией остальных т -1 линейных неравенств, т.е. существуют неотрицательные:

Д,Д,такие,

что а = 1А , b>J:/ify. /=1/=1

Тогда ясно, что m-OQ неравенство «лишнее» в системе (4.12).

Действительно, если точка х удовлетворяет только первым т-\ неравенствам, то она автоматически удовлетворяет неравенству с отношением т :

/=1/=1

Будем говорить, что неравенство

{c,x)<d(4.13)

является следствием системы неравенств (ai,x)<bi / = l,...,w, если для

любого X, удовлетворяющего всем неравенствам этой системы выполняется неравенство (4.13).Для сокращения записи это будет выражаться следующим образом:

Ax<b{c,x)<d.

Будем говорить, что неравенство (4.13) является неотрицательной линейной комбинацией неравенств (4.12), если существуют такие неотрицательные числа Pi,P2,-,Pm»что

c = lLPiai j = \,...,n,(4.14)

dtPih-(4.15)

С использованием транспонированной матрицы А и обозначения p = (pj,p2-Pm) формулы (4.14) и (4.15) могут быть записаны в форме 90

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27 ] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]