назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


22

переменной х. Если перевести эту переменную в основные, то она, став положительной, увеличит переменную х. Как только х достигнет уровня 1, то х обратиться в нуль, т.е. переменная х станет неосновной. В то же время рост переменной х ограничен условиями неотрицательности остальных переменных, которые определяют х = min {1,3,00} =1.

То есть первое уравнение разрешающее. При х = 1, переменная х = О и переходит в неосновные переменные.

Шаг 2. Основные переменные хх, х Неосновные переменные л:,х Выражая новые основные переменные через неосновные, получим

х=1+х+Хз

х = 2-Хз х = 3-х.

Базисное решение соответственно равно = (0; 1; 0; 2; 3) и является

допустимым. Целевая линейная функция F, выраженная через неосновные переменные, имеет вид

F = Xj+ 2x=1 +2х+Хз

В дальнейшем процедура получения оптимального решения соответствует описанному выше симплекс-методу.

Не во всех случаях получение допустимого базисного решения возможно уже после первого шага.

Рассмотрим следующий пример.

Определить максимум линейной функции

F = -2х + Зх -> max

при ограничениях: 2х + Зх > 12; -х + х < 7; 2х + х < 10; х > 2; х > О, введем дополнительные переменные и перейдем к системе уравнений.

2Xj + Зх2-Хз= 12 -x-fx-fx = 7

2Xj+X2 + X5= 10

На первом шаге дополнительные переменные возьмем в качестве основных, учитывая, что они входят во все уравнения по одному разу.



Шаг 1. Основные переменные х, Х, х, х Неосновные переменные

соотношения х = min

l*2.

Выразим основные переменные через неосновные: 3 =-12 +2л:,+ 32

Xj= 10-2x, -х

Х = (0; 0; - 12; 7; 10; -2) первое базисное решение недопустимо, так как

в него входят две отрицательные компоненты. Для получения допустимого базисного решения выбираем уравнение, содержащее отрицательную постоянную. В рассматриваемом примере это первое и четвертое уравнения. Выберем, например, первое и в нем неосновную переменную или

х. Пусть это будет х наибольшее возможное значение х выбирается из оо,оо,5,оо} = 3 достигается в третьем уравнении, оно разрешающее, и переменная х переходит в неосновные переменные.

Нетрудно проверить, что в этом случае количество отрицательных переменных в базисном решении сохраняется и, следовательно, переводить х в основные переменные нецелесообразно. Переведем в основные

переменные х. Наибольшее значение х определяется из соотношения Х2 = min( 00,7,5,00} = 5, достигается в четвертом уравнении. При этом переменная х переходит в неосновные, и в базисном решении становится на одну отрицательную компоненту меньше.

Шаг 2. Основные переменные х, х, х, х Неосновные переменные х, х

Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с четвертого уравнения:

2 = 2 + , х=-6 + 2х, +3х

31 о

4 = 5+,-Х,

Хз = 8-2х,-х,.

= (0; 2; -6; 5; 8; 0) - недопустимое базисное решение с одной отрицательной компонентой. Рассмотрим второе уравнение, в которое вхо-74



значения = mm

х = mm

дит отрицательная постоянная «-6», и переведем в основные одну из неосновные переменных х или х, входящих в уравнение с положительными коэффициентами. Получим из уравнений их набольшие возможные 00,00,00,4} =4 достигается на четвертом уравнении

00,00,5,00} =5. Выберем х, например, в качестве основной.

ШагЗ. Основные переменные х, х, х, х Неосновные переменные х, х

Выразим основные переменные через неосновные, начиная с третьего уравнения.

х = 7 + х-х х = 9 + 5х-3х х = 3-3х+х

= (0; 7; 9; 0; 3; 5) - допустимое базисное решение. Выражая функцию цели через неосновные переменные, получим:

F = -2х + Зх = -2Xj + 3(7 + х - хр = 21 + Xj - Зх

В дальнейшем задача решается согласно алгоритму симплекс-метода.

Пользуясь предлагаемой схемой определения допустимого базисного решения, необходимо учитывать следующее. Если базисное решение недопустимо и для его улучшения есть возможность выбора переменной, переводимой из неосновных переменных в основные, то рекомендуется выбрать такую неосновную переменную, которая должна определить в качестве разрешающего то уравнение системы, где содержится отрицательная постоянная. Только в этом случае новое базисное решение будет содержать по крайней мере на одну отрицательную компоненту меньше. Если в качестве разрешающего будет получено уравнение, не содержащее отрицательной постоянной, то в новом базисе количество отрицательных компонент сохранится.

Как будет показано ниже, количество шагов, необходимых для получения допустимого базисного решения, не зависит от числа отрицательных компонент в исходном базисном решении.

В качестве примера рассмотрим задачу следующего вида.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]