назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


14

Сравнивая равенства (2.9) и (2.10) с равенством (2.8), заключаем, что при любом 1Л системе ограничений (2.8) удовлетворяет решение

=(xiО,...0)

Х =(xi - ар..х - а,0,...0).

Учитывая, что >0 (у = !,...,«) можно подобрать настолько малым, что все компоненты решений X, и Х будут неотрицательными. В

результате Х и Х будут допустимыми решениями задачи, при этом точка X - + 2) будет лежать на отрезке, соединяющем точки Х, ,

, и следовательно, X не является угловой. Следовательно, векторы i, линейно независимы, и теорема доказана.

Используя утверждения теорем (2.13) и (2.14), можно сделать следующий вывод: если задача линейного программирования имеет решение, то оно совпадает с одним из допустимых базисных решений.



Глава 3 СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

3.1. Метод исключения Жордана-Гаусса

Большинство из существующих численных методов решения задач линейного программирования используют идею приведения системы линейных уравнений

а.х. + алХл +... + ах„ = А ,

mi I mz Iтп п m

записываемой в матричном виде как Ах = Ь ,к более приемлемому виду с помощью преобразований Жордана-Гаусса. Суть этих преобразований состоит в следующем [47].

В первом уравнении системы отыскивается коэффициент ац , отличный от нуля. С помощью этого коэффициента обращаются в нуль коэффициенты при переменной x,2 в остальных уравнениях системы. Для этого первое уравнение умножается на число а / а,, и прибавляется к

уравнению с номером г (г = 2,3, w). Затем первое уравнение делится на число а,- . Это преобразование называется элементарным преобразованием, которое не меняет множества решений системы. Полученная эквивалентная система обладает тем свойством, что переменная х, присутствует только в первом уравнении и притом с коэффициентом 1. Переменная хц называется базисной переменной. Аналогичная операция совершается поочередно; при этом каждый раз преобразуются все уравнения и пополняется список базисных переменных. В результате применения метода Жордана-Гаусса либо устанавливается, что система уравнений несовместна (все коэффициенты очередного рассматриваемого уравнения нулевые, а свободный член отличен от нуля), либо выявляются и отбрасываются все уравнения, у которых все коэффициенты и свободный член равны нулю. 50



При этом итоговая система уравнений имеет вид

где or = { 2,...,/} - список номеров базисных переменных,

{hh-h} - множество номеров небазисных переменных. Здесь к- ранг матрицы А. Полученную систему уравнений будем называть приведенной системой, соответствующей множеству а номеров базисных переменных. В качестве базисных переменных х,,, х,2, хц может служить лишь такой набор, для которого соответствующая система а\ а, а столбцов матрицы А линейно независима.

Приведенная система уравнений удобнее первоначальной, поскольку дает явное описание множества всех решений. Давая небазисным переменным Xj,j € СО произвольные значения, вычисляем значение остальных (базисных) переменных по формулам:

Xi =а,о - Z ajXjJea,

jeo)

таким образом, получаем любое решение системы. В частности, одно из решений задается вектором

x=(xX2...,x,),гдe ( О, если i G со.

Пусть ранг матрицы А равен т. Если обозначить через А =(aa...,a"") матрицу, составленную из столбцов матрицы А, соответствующих базисным переменным, то А квадратная невырожденная матрица размера тхт, В этом случае преобразование Жорда-на-Гаусса состоит в умножении исходной матрицы на матрицу А~, и приведенная система имеет вид:

А-АхА-Ъ.

Докажем справедливость приведенного равенства. Для этого обозначим элементы шуп матрицы АА через J3,j,i=\, ..., w;7 = 1,2, ..., п. По

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]