т Ni к J
Z Z Z4-4 -""l l2,...,m; к = 1,2,...,Г(11.98)
/=iy=U=l
i;; <ft,.,/=i,2,...,m.(11.99)
Задача (11.95)-(11.99) является линейной относительно переменных qJ и может быть решена методами, изложенными в работах по линейной оптимизации, используя, например, широко известное программное средство СИПЛЕКС.
Методы линейной оптимизации могут использоваться в некоторых частных случаях и при решении задачи (11.91)-(11.94). Далее будем полагать, что ограничение (11.94) отсутствует, Ui(t) = 0 N €[0,7"] и К(0)>0
/ = l,2,...,/w; y = l,2,...,7V; aj >0 / = 1,2,.../ У = 1,2,...,7V; / = 1,2,...,М .
Очевидно, что в этом случае для максимизации функционала (11.91) необходимо в первую очередь производственные ресурсы выделить на операции 0,«, ,...,0«, то есть на последние операции по каждому виду
вьшускаемой продукции. Таким образом, необходимо максимизировать целевую функцию вида
P=TciqiN. ->max(11.100)
при ограничениях
<c,,,k=ia,...M(11.101)
qiM>0.(11.102)
Очевидно, что если интервал планирования [0,7] достаточно короткий, то, решив задачу (11.100)-( 11.102), мы определим оптимальное решение задачи (11.91)-(11.94) для указанного выше частного случая. Рас-
ViN (0) - [С, т.е. Т > min--, / = 1, w, и
смотрим ситуацию, когда это не так, т.е. Т > mm--, / = 1, w, и введем
, К,дг (0) . обозначение г = mm--,/ = 1, w .
Я1М,
в этом случае объем незавершенного производства на одной из последних операций будет исчерпан до наступления момента времени т . Таким образом, решение задачи (11.100)-( 11.102) перестает быть допустимым для любого момента г > г, и, следовательно, оно должно быть
скорректировано. Пусть mm---достигается на каком-либо номере /
(\<1<т) выпускаемой продукции.
После того как в момент времени гзакончена обработка незавершенного производства на операции О/дг, для того, чтобы в дальнейшем
выпускать продукцию вида /, производственные ресурсы должны быть выделены и на операции Ош и Ош , Следовательно, задача оптимальной загрузки оборудования в этом случае будет выглядеть следующим образом:
HPiiNi ->max(11.103)
при ограничениях:
+/мЬ = 12...,т(11.104)
qtM.>0;qiNi<qiNi ,,(11.105)
Далее необходимо выяснить вьшолняется ли неравенство
Т-т< min
i = lm.(11.106)
Если неравенство (11.106) вьшолняется, то это означает, что на одной из операций, на которую были выделены ресурсы производства, закончена обработка и, следовательно, существует момент времени
, на котором достигается минимум в правой части неравенства (11.106).
Продолжая эту процедуру итеративного решения задач линейного программирования, мы разобьем интервал времени [0,Т] на конечное число отрезков, на каждом из которых будет сохраняться одно и то же в течение определенной продолжительности распределение производственных ресурсов, обеспечивающих при сделанных предположениях оптимальное решение задачи (11.91)-(11.94).
в заключение необходимо отметить, что характер распределения производственных ресурсов на интервалах времени [0,r],[r,r], ... [т,Т] зависит не от величины объема незавершенного производства на операциях Оу, а от последовательности достижения минимумов в соотношениях вида:
mini
(11.107)
Здесь Vi/ - объем незавершенного производства на операции O-j при
к-й итерации решения задачи линейной оптимизации (11.100)-(11.102); \<к<1 qi/ - соответствующие производительности при решении к-й задачи оптимизации. Таким образом, при сохранении последовательности достижения минимумов на операциях в соотношении (11.107) для различных Vij / = l,/w; у = 1,Л меняются величины интервалов
[0,г],[г\г],...[гГ], а их количество и распределение производственных ресурсов по операциям сохраняется.
Геометрическая интерпретация этого факта состоит в следующем. Целевая функция (11.100) при последовательном решении задач оптимального распределения ресурсов является невозрастающей ступенчатой функцией времени, которую мы обозначим F{t). Она имеет вид, представленный на рис. 11.8.
F(t)
Г Г ГТ t
Рис, 11.13, График ступенчатой функции прибыли F(t)
Если сохраняется последовательность операций, на которых достигается минимум в соотношении (11.107), то график F(t) при варьировании
Vij{0) будет сохранять количество ступеней и их высоту, а изменяться будут только интервалы времени, на которых сохраняет постоянство функция F(t).